Voici mon exercice :
A tout suite de réels (an)_n>0, on associe la suite (un)_n>0 définie par :
Uo=Ao , Pour tout n>=1 Un=1/2Un-1 + an
1) Montrer que pour tout n >= 0, on a Un=
(de 0 à n) ak/2^(n-k).2) Montrer que (Un) est bornée ssi (an) est bornée.
3)a. Montrer que si (Un) converge, alors (an) converge.
3)b. Dans ce ca, quelle relation y a-t-il entre leurs limites respectives
4) Dans cette question on suppose (an) géométrique de raison q
4)a. Calculer Un en fonction de a0, n et q
4)b. Déterminer la nature de la suite (Un) en discutant selon les valeur de q
5) Dans cette question on suppose Pour tout n>=0, an=n+1 et on definie la suite v par Vn=Un-(1/2)^n
5)a. Montrer que (Vn) est arithmétique, déduire une expression explicite de Un.
(Indication : Calculer Vo et V1 puis démonter par récurrence une formule pour la valeur de Vn.
5)b. En déduire une valeur de X et Y telles que (Un/(Xn^Y)) tende vers 1 quand n tend vers+00
6) Dans cette question on suppose Pour tout n>=0, an =1/(n+1)
6)a. Prouver que pour tt n>=0, Un>= 2/(n+2)
6)b. En déduire que (Un) est monotone
6)c. Justifier la convergence de (Un) et déterminer sa limite
6)d. Démontrer que pour tt n>=2, Un<=2/(n+1)
Que peut on déduire pour la limite de Un/(2/n)=(nUn)/2
Pouvez vous m'aider merci !
