Suite réelle

[Anonyme]

Bonsoir, un exo dans lequel certaines questions me semblent un peu floues:

a est strictement positif, on considère la suite (xn) définit par: xo= a et la relation de récurrence:
pour tout n appartenent à N, xn+1= 1/2 (xn + a/xn)

je devais établir le tableau de variations de la fonction f définie sur ]0; +infini[ par f(x)= 1/2(x+a/x)ainsi elle est décroissante sur ]0; racine de a] et croissante sur [racine de a; +infini[
de plus elle est admet un minimum en racine de a qui a pour valeur racine de a
Sa limite en 0+ est +infini et sa limite en +infini est + infini

on me demande ensuite de démontrer que pour tout n appartenent à N privé de 0, xn est bien défini et vérifie xn supérieur ou égal à racine de a

je pensais répondre: pour tout n appartenant à N, on a montré precedemment que f(x) est supérieur ou égal à 0 sur ]0;+infini[ d'après le tableau de variation. Comme f(x) est la fonction associée à la relation de récurrence on en déduit que xn+1 est supérieur ou égal à racine de a. Si xn+1 est supérieur ou égal à racine de a, xn est supérieur ou égal à racine de a.

Est-ce que c'est suffisamment justifié?

Après je devais démontrer que pour tout n appartenant à N, xn+1-xn =1/2xn (a-xn²)
je l'ai fait.
Intervient la question "etudier la monotonie de (xn) avec n supérieur ou égal à 1"

Voici ce que j'ai fait pour cette question: d'apres la question précédente xn+1-xn =1/2xn (a-xn²)
or xn est supérieur ou égal à racine de a donc strictement supérieur à 0 ainsi 1/2xn est strictement supérieur à 0 pour tout n supérieur ou égal à 1.
(a-xn²) = (racine de a - xn)(racine de a + xn)
or xn est toujours supérieur ou égal à racine de a donc (racine de a - xn) est inférieur ou égal à 0 pour tout n appartenant à N*. Comme (racine de a + xn) est strictement supérieur à 0, (a-xn²) est inférieur ou égal à 0 pour tout n appartenant à N*.
Ainsi xn+1 - xn est inférieur ou égal à 0 donc (xn) avec n supérieur ou égal à 1 est décroissante

On me demande ensuite de montrer que (xn) converge vers racine de a, c'est là où je bloque véritablement.
Ce que je peux dire c'est que comme (xn) est décroissante et qu'elle admet pour minorant racine de a pour tout n appartenant à N* (questions précédentes) alors elle converge d'apres le théoreme de la limite monotone. Comment prouver que sa limite est racine de a?

[Anonyme]

ça peut paraitre long à lire et tout mais je ne pense pas que ça soit très compliqué...

[Harchy]

Salut,

Étudie la limite quand n tend vers l'infini de ton égalité de récurrence :

cela te donnera un renseignement sur la limite cherchée.

[Anonyme]

c'est bête mais je n'arrive pas à conclure sur cette question...
j'écris que lim xn+1 lorsque n tend vers + infini = limite de f(xn) quand n tend vers +infini


car ...

donc la suite converge vers racine de a.

C'est le point en gras dans le raisonnement qui me pose problème...après tout j'ai montré que (xn) avait pour minorant racine de a, qu'elle était décroissante mais pourquoi ais-je le droit de remplacer xn par racine de a dans cette limite?

[Ben314]

Normalement, pour cette dernière question, tu n'as besoin de (quasi) aucuns calculs suplémentaires.
Tu sait déjà que :
(i) Pour tout n où f est une fonction continue sur ]0,+oo[
(ii) Comme elle est décroissante et minorée (par racine(5)), la suite xn converge vers une limite L>=racine(5).

Or, si, dans la formule (i) tu fait tendre n vers l'infini alors tend vers L {Rappel : dire que Un tend vers L ou que U(n+1) tend vers L ou que U(n-17) tend vers L ou que U(n+3258) tend vers L ...., ben c'est exactement la même chose !!!!} et, comme f est continue, tend vers f(L).

Il ne te reste plus qu'à résoudre l'équation L=f(L) (qui est assez triviale...)

[Anonyme]

Oh merci pour m'avoir bien expliquer en détail la démarche! je saisis mieux, j'avais l'impression de tourner en rond! Mais ce qu'on utilise ça ne serait pas le théorème du point fixe? ça me revient beaucoup mieux maintenant :we:
Merci à vous tous

[Anonyme]

Bonsoir, une dernière question me bloque sur cet exo:
après tout ce travail j'ai dû démontrer que pour tout n appartenent à N*:


et puis la question qui me bloque: en déduire par récurrence que pour tout n appartenant à N*,


j'ai fait l'initialisation mais l'hérédité me pose problème:

pour n fixé, on suppose la proposition vraie. D'après l hypothese de récurrence:


je multiplie de chaque côté par

qui est strictement positif donc


je bloque à partir d'ici, je sais que je dois utiliser la question précédente mais j'ai du mal

mon idée étant évidemment de démontrer Pn+1 tel que j'ai déjà le membre de droite.

[Ben314]

ATTENTION,
!!! (donc )
Pour passer de à , c'est à dire de à il faut ...

Il faut aussi (surtout ?) penser à utiliser ce que tu vient de montrer juse avant, c'est à dire que :

...pour tout n appartenent à N*:

[Anonyme]

:mur:
mais je crois que ce A puissance 2 puissance n+1 me perd...
je sais que pour passer de à il faut élever au carré le
mais j'ai du mal à l'appliquer àet

je vous propose:
pour passer de à on élève à la puissance 1/2 ?!






ne jugez pas mal ces difficultés, les puissances de puissances on en fait pas tous les jours :mur:

[Ben314]

ne jugez pas mal ces difficultés, les puissances de puissances on en fait pas tous les jours :mur:

C'est pas faux...
Mais, ici, tu est sur une suite qui est un cas particulier de la méthode de Newton et l'une des caratéristiques des suites "méthode de Newton", c'est de converger trés trés trés vite vers leur limite et cela fait que l'on est obligé d'utiliser des puissances de puissances pour arriver à avoir une idée de la vitesse à laquelle elles se raprochent de leur limite.

Sinon, pour rester basique, tu as dit toi même que :
1) Ton hypothese de récurrence est :
2) Tu as vu à la question précédente que :

Et ces deux propriétées impliquent que :

[Anonyme]

et la proposition n+1 est vérifiée donc Pn est vraie par récurrence

sauf que...je ne vois pas comment vous avez combiné les 2 inégalités pour obtenir la toute dernière que vous avez écrite...

[Ben314]

Ben....

La 2) dit que
et la 1) implique que ...

[Anonyme]

:doh: mais bien sûr! mais qu'est ce que je fais ? navrée à force de rester sur cet exercice j'en perds mon latin. J'ai réussi à finir ma récurrence grâce à vous. Il y a aussi une question bonus qui me semblait simple au prime abord mais qui ne l'est pas tellement:

dans cette question a=2 et on rappelle que
montrer que pour tout n appartenant à N*:
jusqu'à quel terme suffit-il de calculer xn pour que ce soit une approximation de racine de 2 à 10^-16 près par excès?

J'ai naivement remplacé dans l'inégalité démontrée par récurrence le a par 2 ce qui me donne après simplification:
x1 étant calculé grâce à la relation de récurrence de début d'exercice.

là je dis que comme on pouvait écrire:
ou encore

mais je suis très loin du 28 proposé...navrée de vous embêter avec cette question bonus mais...c'est l'appel à la connaissance :zen:

[Ben314]

Salut,
Je pense qu'il y a une "coquille" dans l'énoncé (ou alors tu t'est gourré en recopiant) car c'est assez incohérent de partir de x1=1/2 qui est inférieurà racine(2).
Il serait plus raisonable, vu ce que l'on te dit concernant racine(2) de partir de x1=1.5=3/2.
De plus (miracle...), ça donne le 1/28 demandé... :ptdr:

Enfin, fait aussi attention que, pour majorer une fraction a/b, il faut majorer le numérateur et minorer le dénominateur (ou bien étudier la fonction pour voir comment ça fonctionne)
Don, que, si 1,4<racine(2)<1,5, il faut majorer (x1-racine(2))/(2racine(2)) par (x1-1,4)/(2x1,4).