J'y repense soudainement, j'avais soumis dans la section Lycée le petit problème suivant :
On considère la suite définie par :
Déterminer en fonction de
Bonne chance...
Suite réelle
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Suite réelle
par Ben314 » 26 Fév 2010, 19:06
Salut,
J'y repense soudainement, j'avais soumis dans la section Lycée le petit problème suivant :
On considère la suite définie par :
et )
.
Déterminer en fonction de
le comportement de la suite 
(convergence ? périodicité ? valeurs d'adhérences ?)
Bonne chance...
J'y repense soudainement, j'avais soumis dans la section Lycée le petit problème suivant :
On considère la suite définie par :
Déterminer en fonction de
Bonne chance...
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
par benekire2 » 26 Fév 2010, 19:14
Je m'y essaierais bien , mais si tu l'as déplacé dans le forum supérieur c'est que ça doit avoir un bon niveau ^^
J'essaierais quand même ..
J'essaierais quand même ..
par Nightmare » 26 Fév 2010, 19:18
Salut !
Je me rappelle en seconde avoir vue cette suite quand je participais au programme "maths en jean". Elle avait un certain rapport avec le "chaos".
Bref, je suppose que l'étude n'est pas facile, cela dit, première idée, poser un truc du style v(n)=sin²(u(n)/2) qui donne alors v(n+1)=2v(n) mod pi.
Je pars pour ce soir, j'y réfléchirai dans la soirée si je m'ennuie et n'ais pas trop bu :lol3:
Je me rappelle en seconde avoir vue cette suite quand je participais au programme "maths en jean". Elle avait un certain rapport avec le "chaos".
Bref, je suppose que l'étude n'est pas facile, cela dit, première idée, poser un truc du style v(n)=sin²(u(n)/2) qui donne alors v(n+1)=2v(n) mod pi.
Je pars pour ce soir, j'y réfléchirai dans la soirée si je m'ennuie et n'ais pas trop bu :lol3:
par benekire2 » 27 Fév 2010, 09:20
Une petite astuce Ben ?
PS: Je ne sais pas ce qu'est une valeur d'adhérence pour le moment alors je me "contenterais" de l'étude de la convergence et de l'étude de la périodicité, bien que j'ai pas trop d'idée.
Je sais juste que pour U0=0 ou U0=3/4 la suite sera constante et convergente :zen:
PS: Je ne sais pas ce qu'est une valeur d'adhérence pour le moment alors je me "contenterais" de l'étude de la convergence et de l'étude de la périodicité, bien que j'ai pas trop d'idée.
Je sais juste que pour U0=0 ou U0=3/4 la suite sera constante et convergente :zen:
par Ben314 » 27 Fév 2010, 20:21
L'astuce, c'est celle dont Nightmare parle :
Comme U0 est dans [0,1], il existe un réel V0 tel que U0=sin²(V0).
Essaye de montrer que U1=sin²(qq_chose_de_simple) puis, plus généralement que Un=sin²(qq_chose_de_simple) puis, si tu ne connait pas les valeurs d'adhérences, je te propose à la place de répondre à ces questions :
1) Existe t'il un U0 tel que la suite soit constante ? Si oui, combien de tels U0 y-a-t'il ?
2) Existe t'il un U0 tel que la suite soit périodique de période 2 ? Si oui, combien de tels U0 y-a-t'il ?
3) Existe t'il un U0 tel que la suite soit périodique de période 3 ? Si oui, combien de tels U0 y-a-t'il ?
p) Existe t'il un U0 tel que la suite soit périodique de période p ? Si oui, combien de tels U0 y-a-t'il ?
x) Existe t'il un U0 tel que la suite soit périodique de période 137 mais uniquement à partir du 1000ième terme ?
y) Existe t'il un U0 tel que la suite ne soit pas périodique, même à partir d'un certain rang ?
z) Existe t'il un U0 telse que les termes de la suite soient denses dans l'intervalle [0,1] ?
En fait, cet exercice n'est pas anodin et la valeur 4 est trés particulière...
On sait trés bien étudier les suites de la forme U(n+1)=aUn+b (suites arithmético-géométrique). Mais qu'en est il des suites U(n+1)=a(Un)²+bUn+c ?
Un certain nombre d'entre elles se ramènent (par changement de variable) à U(n+1)=kUn(1-Un) avec k dans [0,4] et U0 dans [0,1]. Le cas k=4 est donc le "max" des suites de ce type.
Tu doit pouvoir trouver tout seul pourquoi ces deux contraintes ( k dans [0,4] et U0 dans [0,1]) puis regarder ce qui se passe pour les "petites" valeurs de k. Lorsque k augmente, cela devient... le bordel (mais un bordel relativement structuré)...
P.S. pour k=4, je ne sais pas comment on peut "trouver" l'astuce Un=sin²(Vn) si on ne la connait pas, mais ce type d'astuce ne marche que pour k=4 (à ma connaissance...)
Comme U0 est dans [0,1], il existe un réel V0 tel que U0=sin²(V0).
Essaye de montrer que U1=sin²(qq_chose_de_simple) puis, plus généralement que Un=sin²(qq_chose_de_simple) puis, si tu ne connait pas les valeurs d'adhérences, je te propose à la place de répondre à ces questions :
1) Existe t'il un U0 tel que la suite soit constante ? Si oui, combien de tels U0 y-a-t'il ?
2) Existe t'il un U0 tel que la suite soit périodique de période 2 ? Si oui, combien de tels U0 y-a-t'il ?
3) Existe t'il un U0 tel que la suite soit périodique de période 3 ? Si oui, combien de tels U0 y-a-t'il ?
p) Existe t'il un U0 tel que la suite soit périodique de période p ? Si oui, combien de tels U0 y-a-t'il ?
x) Existe t'il un U0 tel que la suite soit périodique de période 137 mais uniquement à partir du 1000ième terme ?
y) Existe t'il un U0 tel que la suite ne soit pas périodique, même à partir d'un certain rang ?
z) Existe t'il un U0 telse que les termes de la suite soient denses dans l'intervalle [0,1] ?
En fait, cet exercice n'est pas anodin et la valeur 4 est trés particulière...
On sait trés bien étudier les suites de la forme U(n+1)=aUn+b (suites arithmético-géométrique). Mais qu'en est il des suites U(n+1)=a(Un)²+bUn+c ?
Un certain nombre d'entre elles se ramènent (par changement de variable) à U(n+1)=kUn(1-Un) avec k dans [0,4] et U0 dans [0,1]. Le cas k=4 est donc le "max" des suites de ce type.
Tu doit pouvoir trouver tout seul pourquoi ces deux contraintes ( k dans [0,4] et U0 dans [0,1]) puis regarder ce qui se passe pour les "petites" valeurs de k. Lorsque k augmente, cela devient... le bordel (mais un bordel relativement structuré)...
P.S. pour k=4, je ne sais pas comment on peut "trouver" l'astuce Un=sin²(Vn) si on ne la connait pas, mais ce type d'astuce ne marche que pour k=4 (à ma connaissance...)
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
par nodgim » 28 Fév 2010, 10:41
En dessinant dans (0,1) le graphe de cette parabole, et la même en inversant x et y (ce n'est pas du tout académique, mais c'est très instructif) on voit que (et avec un peu de calcul):
pour x=1/2, la suite se stabilise à 0.
pour x=1/4 ou 3/4, la suite se stabilise à 3/4.
pour x=0.3455 ou x=0.90.. la suite se stabilise alternativement à ces 2 valeurs (ce sont les 2 autres points d'intersections des 2 graphes, le 1er étant 3/4)
Pour toute autre valeur, sauf 0 ou 1, qui est évident, la suite a un comportement erratique, les valeurs restant enfermées entre 0 et 1.
pour x=1/2, la suite se stabilise à 0.
pour x=1/4 ou 3/4, la suite se stabilise à 3/4.
pour x=0.3455 ou x=0.90.. la suite se stabilise alternativement à ces 2 valeurs (ce sont les 2 autres points d'intersections des 2 graphes, le 1er étant 3/4)
Pour toute autre valeur, sauf 0 ou 1, qui est évident, la suite a un comportement erratique, les valeurs restant enfermées entre 0 et 1.
par Ben314 » 28 Fév 2010, 15:39
En fait, pour facilement voir le comportement de la suite, on peut introduire la fonction )
.
Elle est surjective mais pas injective :=\varphi(t)\ \Leftrightarrow\ t'=t\ {\text ou}\ t'=1-t)
ce qui est un peu ennuyeux mais permet d'avoir une formule de récurrence plus simple.
En effet, si)
alors on a :
\big(1-\sin^2(\pi V_n)\big)=\big(2\sin(\pi V_n)\cos(\pi V_n)\big)^2=\sin^2(\pi\times 2V_n)=\sin^2\big(\pi\times (2V_n-1)\big))
Ce qui permet d'écrire que)
où 
Ce qui signifie que, si on écrit
en base 2 : 
alors 
Si par exemple on cherche toutes les suites de période 3, on est ammené à résoudre
c'est à dire 
ou bien 
et, si on pose 
, cela revient à résoudre :
qui admet 8 solutions : 
qui admet 8 solutions 
Il y a donc 8+8=16 solutions possibles pour
et donc 16/2=8 solutions possibles pour (dont en fait 2 sont périodiques de période 1)
Elle est surjective mais pas injective :
En effet, si
Ce qui permet d'écrire que
Ce qui signifie que, si on écrit
Si par exemple on cherche toutes les suites de période 3, on est ammené à résoudre
Il y a donc 8+8=16 solutions possibles pour
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
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