Suite récurrente
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Aispor
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par Aispor » 18 Avr 2018, 15:35
Bonjours,
J'aimerais savoir svp comment montrer que les suites
a = 2^n
b = 3^n
Engendrent l'ensemble des suites u tel que
Pour tout n appartenant à N
U(n+2) -5*U(n+1) + 6*U(n) = 0
Sachant cette propriété :
Si pour deux suites a et b
On a (a0,a1) et (b0,b1) libre dans R^2
Alors a et b sont libres dans l'espace des suites.
Merci !
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Mimosa
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par Mimosa » 18 Avr 2018, 16:42
Bonjour
Vérifie d'abord que les deux suites données, sont bien dans l'ensemble donné, que celui-ci est un sous-espace vectoriel de l'espace de toutes les suites, puis montre qu'elles forment une base de cet espace.
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Aispor
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par Aispor » 18 Avr 2018, 16:45
Oui mais c'est juste pour le fait que ces deux suites suffisent à engendrer tout l'espace que je suis bloqué ^^
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aviateur
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par aviateur » 18 Avr 2018, 17:05
La réponse à ta question est dans la propriété que tu as énoncée.
Tu as tes 2 suites libres a et b ds l'e.v que j'appelle E. .
Soit c une suite quelconque de E.
(a0,a1) et (b0,b1) forment une base de R^2
Donc il existe x,y ds R tq (c0,c1)=x(a0,a1)+y(b0,b1)
il te reste à t'assurer que c= x a +y b
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Mimosa
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par Mimosa » 18 Avr 2018, 17:06
Montre que l'espace est de dimension 2. L'indication que l'on te donne suggère de montrer qu'il y a un isomorphisme entre cet espace et
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Aispor
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par Aispor » 18 Avr 2018, 17:17
Merci aviateur.
Cela se ferait il par récurrence ? ^^
Je serais plus chaud pour la c=x*a + y*b Mimosa :p
Mais oui la conclusion que je dois trouver c'est que la dimension est 2
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Aispor
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par Aispor » 18 Avr 2018, 17:20
Ah bah du coup par récurrence ça marche bien facilement!
Merci Beaucoup à tous les deux !
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Ben314
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par Ben314 » 18 Avr 2018, 19:01
Salut,
Aispor a écrit:Ah bah du coup par récurrence ça marche bien facilement!
Merci Beaucoup à tous les deux !
Ca intéresserait plus que beaucoup de savoir "quoi c'est" que tu as montré par récurrence
(vu que j'ai un peu des doutes concernant le fait que ça prouve que l'espace des suites vérifiant la relation en question est de dimension exactement égale à 2)
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Aispor
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par Aispor » 18 Avr 2018, 21:25
En reprenant les notations de aviateur
J'ai posé enfaite la propriété P(n) :" C(n) = x* A(n) + y*B(n) "
Où x et y étaient les réels dont aviateur a parlé.
Après avoir montré la propriété P(n) j'en ai déduit que pour toutes suites appartenant à É, on peut écrire cette suite comme combinaison lineraire de A et B. ie C = x*A + y*B
Ainsi À et B engendrent É
Puisque l'on a la liberté c'est une base de E
D'où dim(E)=2
?? ^^
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Ben314
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par Ben314 » 18 Avr 2018, 21:43
On peut voire le truc comme ça, mais à mon avis (donc ça vaut ce que ça vaut...) ça me semblerai plus simple de dire qu'il est bien clair que, étant donné X et Y fixés, il existe une unique suite telle que U(0)=X ; U(1)=Y et
U(n) = 5*U(n-1) - 6*U(n-2) pour tout n >= 2.
Et exactement la même chose dit en terme technique, ben ça te dit que l'application qui à une suite de E associe le couple (U(0),U(1)) c'est une bijection (clairement linéaire) de E dans R^2 (vu que ça dit que tout couple (X,Y) de R^2 admet un unique antécédent)
Bref, à mon sens, il n'est nul besoin d'exhiber une quelconque base pour montrer que E est de dimension 2 : ça coule complètement de source vu la définition de E.
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