[Défi] Suite récurrente.

[girdav]

Bonjour,
on définit la suite par et pour tout entier . Trouver .

Bon courage!

[Finrod]

Meuh non c'est simple.

je trouve zéro si est plus grand que 1. l'infini s'il est plus petit et en 1...

Comme tu l'as posé égal à racine de 5, je vais laisser ça de côté.

(exceptionnellement je suis certain du résultat)

[girdav]

Je suppose que tu utilises la trigonométrie hyperbolique.

[girdav]

Si alors on a par récurrence que pour tout entier . Le rapport en question vaut dans ce cas et la limite est bien sûr infinie.

On regarde dans le cas où : on pose pour un certain et on peut expliciter donc le rapport.

[Finrod]

Non j'utilisais juste des polynômes.

mais les équivalents que je voulais utiliser sont faux. Je pensais que comme était un polynôme en , il pouvait être équivalent au terme de plus haut degrès.

En gros, c'est n'importe quoi.

Je me demande pourquoi j'essaie à chaque fois de faire ces exo, je sais que je ne sais pas faire ces trucs là.

[benekire2]

Comme (x_n) diverge, l'étude de cette suite sert pas a grand chose en elle même donc je pense que ça doit être plus dur que ça.

Cela dit, je vais d'abord conjecturer le résultat ( c'est fait, c'est 1) et peut être que la preuve sera plus facile, comme ça arrive souvent sur ce genre d'exos.

EDIT: Je n'avais pas lu le post de Girdav ...

[busard_des_roseaux]

bonjour,

sinon écrire le quotient de 2 produits successifs

comme (x_n) converge, ces produits se comportent asymptotiquement
comme une progression géométrique

[benekire2]

comme (x_n) converge, ces produits se comportent asymptotiquement
comme une progression géométrique

Salut des busard, sauf erreur, (x_n) ne converge pas et diverge en l'infini.

[girdav]

Pour ceux qui ont trouvé la limite du rapport en question avec (pas seulement de façon empirique, mais avec une justification), on peut s'amuser à chercher la limite de ce même rapport en fonction de .

[girdav]

D'ailleurs, on voit que si on change en , la suite ne change pas et le rapport non plus.

[girdav]

Petite remontée d'un topic qui semble sombrer dans l'oubli.

[Pythales]

Je n'oublie pas...
La difficulté semble être le caractère "pointu" de la convergence.
Une remarque à tout hasard : a des racines simples ...

[busard_des_roseaux]

Salut des busard, sauf erreur, (x_n) ne converge pas et diverge en l'infini.

Oui, tu as raison.je me suis planté , j'ai regardé la bissectrice avant la courbe :hum:
tend en croissant vers l'infini (cf dessin)



le (-2) est peanuts face à l'infini



tend vers 1 en croissant

à partir d'un certain rang m fixé


d

[Pythales]

Le 2 est effectivement peanuts, mais s'il varie d'un epsilon, la limite n'est plus 1...

[girdav]

On pose . .

[Pythales]

Effectivement, c'est simple :
soit
avec
soit
avec soit et

[girdav]

Ceci permet de régler le cas où le terme initial est strictement supérieur à .

[Ben314]

Salut,
En fait, on peut procéder de même si en utilisant des complexes (la fonction Ch est surjective de C dans C).

On peut aussi se passer de trigo hyperbolique (mais ça revient quasi au même) :
Si et sont les racines (réelles ou complexes) de alors, pour tout , on a et, si (), .
On a donc
- Si alors et sont réels distincts et (par exemple) .
On a donc
- Si alors et sont complexes conjugués et de module égaux à 1 : et où est tel que .
On a donc et dont les comportements lorsque dépendent de la valeur initiale...

[girdav]

Je n'avais pas pensé à cette méthode.
Le problème initial consistait à traiter seulement le cas où et est tiré des IMC.
Il est vrai que le cas où est plus difficile.

[Pythales]

En fait, si il suffit de reprendre le message 16 et de remplacer le par
On arrive à la même conclusion que Ben314.
Le cas est trivial.