Suite récurrente d'ordre 1 avec second membre

[chombier]

Bonjour à tous,

voici l'intitulé de mon problème :
est une suite de polynômes à coefficients dans :
appartient donc au -espace vectoriel

On a les informations suivantes sur D :
(1)


J'ai commence à m'intéresser aux solutions de (1)
Pour ça je me suis intéressé à l'équation homogène associée :
(2)
Donc les solutions sont de la forme avec

J'ai ensuite cherché une solution particulière à (2) et c'est là que je bloque...

J'imagine que ce problème se généralise bien :
(***)
et sont des suites à valeur un anneau
est un élément de

et sont connus, et il faut trouver les qui vérifient cette relation.

Merci d'avance !

[aviateur]

Bonjour
Si D on trouve que la solution (notée ici ) facilement que

Soit Pour trouver , on soustrait membre à membre les équations vérifiées par H_n et D_n. On obtient une équation très simple à résoudre vérifiée par On résout d'où l'expression de puis

[chombier]

Ah oui, pourtant j'y ai pensé
Avec , est solution
(Je n'ai pas trouvé comme toi...)

Ensuite l'ensemble des solution de mon équation est un espace affine dirigé par l'espace vectoriel des solutions de l'équation homogène associée.

Les solutions sont donc de la forme , c'est à dire :


Comme je cherche une solution particulière,




Finalement,







Ah pour info, c'est le polynôme caractéristique de la matrice :



(J'aurais sans doute du commencer par là... )

[aviateur]

Bonjour
oui, c'est cohérent:la matrice est de rang 2 donc tu peux mettre x^(n-2) en facteur.

[chombier]

Maintenant voila la méthode de mon prof :

Les solutions de l'équation homogène associée sont de la forme avec

Donc l'idée c'est de chercher des solutions à l'équation de récurrence de départ de la forme
avec

Une espèce de variation de la constante... bref... j'y reviendrais

On pose donc avec






On pose alors :



Comme ,

[chombier]

Du coup, j'ai des questions sur la méthode du prof :

1) Quelle est cette étrange méthode de variation de la constante qui ressemble à s'y méprendre à la résolution d'équation différentielle ?

2) Cette méthode de variation de la constante se généralise-t-elle à, par exemple, ce genre d'exercice :
(***)
et sont des suites à valeur un anneau
est un élément de

3) Etrange quand même : les ne sont pas des polynômes mais des fraction rationnelles :

[zygomatique]

salut

pour factoriser un polynome sur R il arrive parfois de passer dans C ...

ben ici c'est le même principe : pour trouver un polynome ben on passe dans les fractions rationnelles ...

REM : coup de bol au final tout se simplifie ... mais je ne suis pas persuadé que cela marche toujours ...

dans le sens où on trouvera effectivement une solution ... mais elle restera rationnelle !!


ensuite résoudre y' = ay + b ou u(n + 1) = au(n) + b c'est le même principe ...