Suite de polynôme

[c1m2l3e]

Bonjour, voici l'exercice sur lequel je suis bloquée, la c) et à partir de la e)
P0 = 1
Pn+1 = 2XPn- 1/(n+1) * (1+X²)P'n

a) Calculer P1 et P2
P1 = 2X et P2 = 3X²-1

b) Montrer que le degré de Pn est inférieur ou égal à n
J'ai fait une récurrence

c) an est le coefficient de X^n dans Pn. Montrer que an+1 = (n+2)/(n+1) *an

d) Montrer que Pn(-X) = (-1)^n Pn(X)
J'ai fait par récurrence

e) Montrer que P'n+1 = (n+2)Pn
Peut-etre en dérivant et en faisant une récurrence mais je suis alors bloquée par les P''n

f) Montrer que P2n+1(0) = 0 et P2n(0) = (-1)^n

g) Déduire que Pn+1 = Pn+1(0) +(n+2)Integ(Pn(t)dt) [entre 0 et x]
J'ai fait la primitive de P'n+1 et j'ai ajouté Pn+1(0) comme constante

h) Trouver toutes les suites complexes vérifiant Un+2 -2xUn+1 + (1+x²)Un = 0

i) En déduire que Pn = 1/2i * ((X+i)^n+1 - (X-i)^n+1)

Merci d'avance pour votre aide

[Ben314]

Salut,
Normalement, par récurrence, je pense que ça devrait marcher sans souci :
Tu suppose que, pour un entier donné, on a puis tu utilise la définition (récursive) de pour évaluer .
Certes, dans cette évaluation, il va apparaître du , sauf que ton hypothèse de réccurence implique que et ça devrait faire marcher le truc.

Sinon, tout le reste semble O.K. sauf ça :

g) . . .
J'ai fait la primitive de . . .

Attention à l'erreur (on ne peut plus grave) consistant à parler de la primitive d'une fonction.

Et sinon, la question h) est mal formulée et n'a pas de sens telle qu'elle est posée vu qu'on y parle d'un certain "x" qui n'a nulle part été défini. Il faut la faire précéder de "Soit x un réel fixé" (ou éventuellement "Soit x un complexe fixé", mais ça complique un peu et c'est inutile). Bref, pour fixer les idées, tu peut prendre par exemple x=3 et regarder si dans ce cas tu sait répondre à la question.

[c1m2l3e]

D'accord je vais essayer comme ça pour la e)
Pardon pour la g), je n'ai pas fait attention en écrivant
Pour la h), j'ai oublié de marquer que x appartient à R et n appartient à N

Pouvez vous me donner une indication pour la c) si vous en avez une s'il vous plait?

[Ben314]

Pour la h), le coté "énoncé pas très bien fait", c'est pas super important. Ce que je voulais que tu comprenne bien, c'est que le x est fixé donc que si tu sait comment procéder avec par exemple x=3, tu as quasi répondu à la question.

Pour la c), désolé, j'avais pas fait gaffe que tu avais pas répondu.
Mais d'un autre coté, c'est bébète : tu écrit juste que en précisant que les points de suspension "contiennent" tout les termes de degré <n et tu regarde ce que ça donne si tu injecte ça dans la définition de : ça te donne le résultat de façon quasi immédiate.

[c1m2l3e]

Pour la c) je comprends pas comment faire apparaître le n+2

Pour la e), en faisant comme vous avez dit j'ai un P'n-1 que je ne sais pas par quoi remplacer...

Pour la h) j'ai trouvé les solutions de l'équation caractéristique mais je n'arrive pas à écrire la suite

[Ben314]

Si alors :
(1) (car les termes de degré <n, une fois multiplié par sont de degré <n+1)
(2) (car les termes de degré <n ont des dérivés de degré <n-1)
(3) (car ...)
donc

Pour le (h), une suite géométrique (non identiquement nulle) de raison vérifie
si et seulement si , c'est à dire (évidement distincts)
Donc les suites géométriques solutions de (*) sont et et les suites (pas forcément géométriques) solution de (*) sont les combinaisons linéaires de ces deux suites là (car l'ensemble des solutions est un e.v. de dim. 2 et que les deux suites en question forment une famille libre).
En résumé, les suites vérifiant (*) sont celles telles que où et sont deux constantes complexes.

[c1m2l3e]

Daccord merci j'ai trouvé
Pourriez vous m'aider pour la récurrence de la e)?

[Ben314]

Pour la e) :
(1) Tu dérive la relation définissant (par récurrence) . Le résultat "contient" du , du et du .
(2) Par hypothèse de récurrence tu as et donc et si tu utilise ça dans le résultat du (1) tu obtient un truc qui "contient" maintenant du , du et du .
(3) Sauf que, si tu regarde les termes "contenant" du et du (et que tu t'es pas gouré dans les calculs) ça va forcément (*) être, à un facteur multiplicatif prés, du qui, par définition (de ) est égal à .

(*) Si un tel "miracle" n'était pas, alors il n'existerais pas de formule telle que celle qu'on te demande de montrer.

[c1m2l3e]

J'ai ça du coup,


mais je vois pas comment faire après parce que si je factorise par (n-2), il ne me semble pas que ça va donner

[Ben314]

On va dire que c'est "presque bon" et ça ne peut être du qu'à une erreur de calcul à un moment donné.
A priori tu devrait trouver
(et pas ).
Ce qui donnerais .

Vérifie de nouveau tes calculs et, si tu trouve pas l'erreur, je les ferais de mon coté.

[Ben314]

D'un autre coté, c'est pas super long donc je peut te le faire :

On suppose que, pour un certain entier , on a (et donc ). On a alors :

[c1m2l3e]

D'accord merci, j'ai recommencé le calcul et j'ai trouvé la bonne chose.
Pour la question f), est-ce possible en écrivant l'expression de P2n+1 et de P2n à partir de celle de Pn+1? j'ai essayé mais je n'aboutis pas de cette manière, donc je ne sais pas si c'est la bonne

[Ben314]

Oui, c'est ça, mais tu peut même uniquement regarder ce que donne la définition (récursive) de dans le cas où on prend .
Tu regardera (et/ou comprendra) ensuite pourquoi il est nécessaire de distinguer le cas pair du cas impair.

Indic : Tu va aussi avoir besoin du résultat de la question e) pour te "débarrasser" du

[c1m2l3e]

Je trouve

et

Après je ne vois pas comment utiliser la question d'avant, on aurait
et


Mais je ne vois pas comment le fait de les insérer dans les autres équations donneraient le résultat souhaité

[Ben314]

Je trouve

et

Après je ne vois pas comment utiliser la question d'avant, on aurait
et

1) Il te manque les "(0)" dans tes deux trucs (et vu les notations employées, c'est évidement on ne peut plus important)
2) Si , alors, en particulier, on a .
Idem pour l'autre.

(et je redit que, jusque là, ça sert à rien de distinguer le cas pair du cas impair)

[c1m2l3e]

Daccord donc en reprenant avec , j'ai

[Ben314]

Non, il y a encore une erreur de calcul.
Pour tout on a :
(1)
(2) on a
Donc pour tout
Ce qui signifie que et à force de diminuer de 2 en 2, on va tomber au final soit sur si le de départ est impair, soit sur si le de départ est pair.

[c1m2l3e]

Oui je suis d'accord mais je ne comprends pas comment on peut en déduire les égalités demandées... Parce que donc c'est vérifié pour n=0 mais ça veut pas dire que c'est valable pour tous les n, si?

[Ben314]

Ca "ne veut pas dire" que ça va tout le temps être vrai, mais pour le prouver, c'est on ne peut plus simple partant de la relation :
Soit tu fait comme dans le post juste au dessus avec des points de suspension et tu "compte" combien d'étapes il y a pour savoir si à la fin on tombe sur du ou bien sur du , soit tu trouve que c'est pas assez "propre" comme preuve et tu fait une récurrence.
C'est bien évidement deux fois la même chose rédigé de façon un peu différente : la récurrence fait "plus propre", mais perso, je trouve que l'autre méthode est bien plus naturelle vu que, contrairement à la récurrence, elle ne fait pas que prouver que le résultat est valable, mais elle explique aussi d'où il provient.

[c1m2l3e]

D'accord merci
Avez vous une indication pour la question h)?