Suite d'opérateurs de rang fini => limite compact?

[melreg]

Bonjour,

Encore une question sur les opérateurs compacts... la voici :

On sait que dans un espace de Hilbert, un opérateur compact est la limite d'opérateurs de rang fini.
Qu'en est-il de la réciproque ? i.e. si on a une suite d'opérateurs de rang fini qui converge dans un espace de Hilbert, cette limite est-elle un opérateur compact?

Merci d'avance

[ThSQ]

une suite d'opérateurs de rang fini qui converge dans un espace de Hilbert, cette limite est-elle un opérateur compact?

Mmmm, tout le monde est d'accord avec Angélique ?

Les opérateurs compacts forment un sev fermés de L(E,F) non ? Les opérateurs (continus ce qui est le cas des T_n) de rang fini sont compacts donc une limite d'opérateurs continus de rang fini devrait être compacte. :briques:

Du coup je m'interroge sur le T_n -> T.
Ok T_n(x) -> T(x) mais ...

[ThSQ]

Ah, un cas de schizophrénie sévère alors :ptdr: