Suite\integrales

[Anonyme]

salut à tous.
voici ma question:
soit f 1e fonction définie et continue sur [0,a] avec 0trouvez la limite de suite (Vn) definie par:
Vn=integrale de 0 à a de f(x)sin(nx)dx
pouvez vous m'aider à converger vers la limite(ou meme diverger!)
merci.

[Anonyme]

Bon si f est constante c'est direct que ça converge vers 0,
mais sinon jvois pas trop... Chaud l'exercice!

Une idée serait de calculer V(n+1) - V(n) et de montrer que cette différence ne converge pas vers 0, auquel cas la suite divergerait, mais vu l'heure je n'ai pas tenté le calcul.

Est-ce que vous avez une idée pour la caractérisation d'une projection orthogonale? (cette question est affichée dans le forum)

Merci

[Anonyme]

Bonjour,
si elle est continue sur un segment, alors elle est majorée sur un segment.
On peut alors écrire l'inégalité valeur absolue de l'intégrale inférieure ou égale à intégrale de la valeur absolue, puis sortir un M (majorant) de l'intégrale. Puis un changement de variable u=n*x dans l'intégrale, et un petit DL de cos en 0 permettent de conclure. Mais peut-être existe-t-il une solution plus simple...

[Anonyme]

euh en fait non...

[quinto]

Enfin ça y est!
On peut montrer le résultat pour une fonction en escalier (ou étagée), il suffit d'utiliser Chasles.
Ensuite on peut utiliser le cours, qui dit que pour tout e, on peut trouver une fonction étagée g telle que |f-g|au fait, la donnée 0

[Anonyme]

connu aussi sous le nom de lemme de lesbegues

[Anonyme]

et l hypotese f C1 se traite par une integration par partie, mais l approximation uniforme par des fonctions en escaliers est effectivement le meilleur moyen pour le cas général

[quinto]

Lebesgue sans s, et c'est le lemme de Riemann-Lebesgue.
Note que tu peux généraliser ceci à des fonctions mesurables.
Je pense qu'on peut s'en sortir avec le théorème de Lusin.