Suite généralisée / Espace complet

[zwijndrecht]

Bonjour,

Je cherche à montrer que si est un espace métrique complet, alors, toute suite généralisée ("net") de Cauchy est convergente.
(On dit qu'une suite généralisée est de Cauchy si ).

Mais je ne vois pas du tout comment m'y prendre... J'imagine qu'il faut essayer de se ramener au cas ders suites "classiques", mais je ne vois pas comment je pourrais faire...

Si quelqu'un pouvait me donner une indication, ce serait sympa...

Merci d'avance

[hdci]

Je n'ai pas creusé plus que cela, mais une idée : peut-être faire comme dans le cas des suites de Cauchy, c'est-à-dire, extraire une sous-suite convergente ( en prenant ), puis montrer que si la suite généralisée admet une valeur d'adhérence et est de Cauchy alors elle converge vers cette valeur d'adhérence ?

[zwijndrecht]

Merci pour ta réponse.
J'ai essayé de faire comme ceci :

Soit une suite généralisée ( est donc un ensemble pré-ordonné filtrant) telle que soit de Cauchy dans .

Posons

Comme est filtrant, il existe tel que et
Posons
On a et
On construit ainsi par récurrence .
En supposant construit, on construit tel que et

J'ai maintenant envie de poser , . Pour montrer que est une sous-suite généralisée de , il faut montrer que est cofinale, i.e. que pour tout , il existe tel que, pour tout ,
Mais là, je suis bloqué...
Les seules choses que l'on sait sur la relation binaire dont est muni sont que :
1) est transitive
2)

[hdci]

Je ne suis pas sûr qu'on puisse dire que la suite vérifie ce que tu as écrit, car est dénombrable et ne l'est potentiellement pas.

Je ne connais pas bien les nets. L'idée que j'avais était celle-ci : est une suite de Cauchy, donc converge vers une certaine limite

Fixons , on a donc un indice tel que l'inverse est inférieur à et on a donc l'existence d'un indice supérieur tel que
Si on appelle l'antécédent de par , on a donc
Mais également, il existe un indice (que l'on peut prendre supérieur à ) tel que pour tout p,q qui lui sont supérieurs, on a
En particulier
Or

D'où : pour tout , il existe un rang tel que pour tous les p qui lui sont supérieurs, on a

(Mais je ne sais pas si c'est bien cela la définition de la limite pour une suite généralisée)

[zwijndrecht]

Ok, mais le problème, c'est justement de voir que est de Cauchy...
Pour cela, on a besoin du fait que soit cofinale.
En effet, si je tente une preuve :
Soit
Par hypothèse, il existe tel que, pour , on ait
Si est cofinale (ce que je ne parviens pas à montrer), alors (par définition) il existe tel que, pour tout , on ait
On a alors, pour tout , .
Mais tout le problème est de voir que pour assez grand, (en clair, que est cofinale).

Sinon, pour le reste, oui, dans un espace métrique, la convergence des suites généralisées peut s'éprimer comme tu l'as écrit...

[hdci]

Pour l'aspect "suite de Cauchy extraite"
Pour , on a donc identifié un tel que pour tout on ait
En particulier, on a posé

Alors pour , on considère pour non pas un quelconque, mais un  vérifiant (qui existe selon l'axiome 2 de la définition de la relation binaire que vous avez indiquée : on a trouvé un certain avec le critère de Cauchy, il existe donc un qui est plus grand à la fois de et de ).
Cette construction par récurrence garantit le fait que pour tout , on a et par suite, pour on a , ce qui en fait une suite de Cauchy

[zwijndrecht]

Effectivement, vu comme ça, ça fonctionne
Merci beaucoup !