Suite de fonctions

[Simon36]

Bonjour j'ai une question sur la convergence normale d'une suite de fonction définiée par fn(x)=n*sin(x)*(cos(x))^n pour x appartenant a I=[0,Pi/2]
J'ai trouvé la convergence simple vers la fonction nulle.
Pour la convergence normale, j'ai une méthode mais je ne sais si elle est valable.

Je vois qu'en 0 et Pi/2 fn s'annule.
Donc pour x appartenant à ]0,Pi/2[, j'ai dit que
_Il existe a appartenant a ]0,1[ tq pour x appartenant à ]0,Pi/2[ cos(x)_|n*sin(x)*(cos(x))^n|
Et n*a^n-->0 donc sup|n*sin(x)*(cos(x))^n|-->0 donc la suite converge normalement vers 0

Le raisonnement est -il bon ?

Merci de votre aide

[nuage]

Salut

...
_Il existe a appartenant a ]0,1[ tq pour x appartenant à ]0,Pi/2[ cos(x)<a
...

Ce point mérite une démonstration (à cause du n dans fn(x) )

[serge75]

_Il existe a appartenant a ]0,1[ tq pour x appartenant à ]0,Pi/2[ cos(x)<a

C'est faux !

[manelle]

Bonjour j'ai une question sur la convergence normale d'une suite de fonction définiée par fn(x)=n*sin(x)*(cos(x))^n pour x appartenant a I=[0,Pi/2]
J'ai trouvé la convergence simple vers la fonction nulle.
Pour la convergence normale, j'ai une méthode mais je ne sais si elle est valable.

Je vois qu'en 0 et Pi/2 fn s'annule.
Donc pour x appartenant à ]0,Pi/2[, j'ai dit que
_Il existe a appartenant a ]0,1[ tq pour x appartenant à ]0,Pi/2[ cos(x)0 donc sup|n*sin(x)*(cos(x))^n|-->0 donc la suite converge normalement vers 0

Le raisonnement est -il bon ?

Merci de votre aide

Non le raisonnement n'est pas bon :
d'abord on ne parle pas de convergence normale pour une suite de fonctions .
Je suppose donc qu'il s'agit d'étudier la convergence uniforme de (fn) sur I vers la fonction nulle .
Et on ne peut pas assurer que cosx<a sur ]0,pi/2[...
Mais je crois que l'on peut facilement chercher le supfn sur I avec la dérivée et montrer que cela ne tend pas vers 0 , comme il est tard , je revérifierai demain .

[fahr451]

la convergence vers 0 est uniforme sur tout intervalle [a,pi/2] où 0Mais pas sur [0,pi/2] prendre la suite xn = 1/racine(n) fn(xn) est équivalente à racine(n)exp(-1/2) et tend donc vers plus l'infini.