Suite de fonctions définie par récurrence

[noucho]

Bonjour tout le monde,

j'ai une fonction f (infiniment dérivable), et je définis par récurrence la suite fonctionnelle suivante




Ca m'évoque vaguement des trucs (style les polynômes de Hermite), sauf qu'ici, f n'étant pas un polynôme, les résultats ne se simplifient pas autant.
Tout ce qu'on peut espérer, c'est une écriture (assez horrible) de comme un multinôme en , , , ..., .

Ca a l'air bien moche. Si jamais ce problème épineux vous évoque quelque chose, ça m'intéresserait beaucoup.

Merci d'avance,
Noucho

[noucho]

Oui en fait soyons plus clairs:
Je cherche tout bêtement à caractériser les dérivées successives de

par la formule


(avec, dans la notation de mon précédent post, f=F').

Y a forcément des trucs qui se savent là-dessus !?

++,
Noucho

[skilveg]

Salut,

En toute généralité, pour les dérivées d'une composée, tu as la [url=http://en.wikipedia.org/wiki/Faà_di_Bruno's_formula]formule de Faa di Bruno[/url]. On peut considérer ça comme horrible... Si tu en as le courage essaie de voir si ça se simplifie avec l'exponentielle.

(Sans simplification ça donne
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en notation multinomiale.)

[noucho]

Salut,

merci beaucoup de la référence. Apparemment une écriture concise de la formule de Faà di Bruno existe avec les *polynômes de Bell* (connaissais pas...) :
http://en.wikipedia.org/wiki/Bell_polynomial#Applications_of_Bell_polynomials

Cette formule se simplifie pas mal dans le cas de l'exponentielle, vu que toutes ses dérivées sont égales à elle même... Donc pour répondre à mon premier post :


où les sont les polynômes de Bell...

J'ignore si ça peut me servir à quelque chose, mais rien que par curiosité un grand merci.

++,
Noucho