Suite exacte scindée !

[barbu23]

Bonsoir :
La proposition suivante est un extrait du cours d'algèbre de cette année à la fac où j'étudie à présent, et il y'a un petit passage que je comprends pas dans la démonstration, je serai ravi que quelqu'un m'apporte son aide pour le déchiffrer.
Proposition :
Soit un anneau commutatif, et considérons une suite exacte courte de modules

Alors :
. a un supplémentaire dans .

. : :
Démonstration :
Soit un supplémentaire de dans . Considérons l’application qui associe à : avec et l’élément .
Elle est bien définie car est injectif. De plus, c’est un homomorphisme. Enfin, un élément se décompose , donc et .
Question :
Dans la démonstration, pourquoi l'application : est bien défini ( Ils n'ont rien indiquer sur ce petit passage )
Merci infiniment !

[Nightmare]

Salut :happy3:

C'est écrit non? Je ne comprends pas ce qui ne va pas ...

[abcd22]

Bonsoir,

Dans la démonstration, pourquoi l'application : est bien défini ( Ils n'ont rien indiquer sur ce petit passage )

Comme Q est un supplémentaire de i(N) dans M, tout élément m de M peut s'écrire de façon unique m = q + z avec q dans Q et z dans i(N), mais si i n'était pas injective, on pourrait ensuite écrire z = i(y) = i(y') avec y différent de y', donc on ne pourrait pas savoir si on a j(m) = y ou j(m) = y', autrement dit j ne serait pas bien définie. Ici i est injective donc il n'y a pas de problème.

[barbu23]

Merci pour vos reponses à vous deux !