[Mesure] suite d'ensemble mesurables

[Epsilon]

bonsoir tous le monde
alors je bloque sur cet exo
" soit un espace de mesure finie
et soit une suite d'elements de tel que

mais ....

je suis trés faible en mesure et intégration

[abcd22]

Salut,
C'est la premiere partie du lemme de Borel-Cantelli, il faut interpreter ce qu'est la lim sup d'ensembles : c'est l'ensemble des qui sont dans une infinite de , il suffit donc de montrer que p.s, est dans un nombre fini de , autrement dit presque surement (ou le 1 designe la fonction caracteristique).

[mathelot]

hello,


il faut que tu traduise ces égalités avec des quantificateurs !

L'intersection d'une famille d'ensembles est incluse dans chaque ensemble:

,



Cette dernière somme est le reste d'une série convergente.
Il peut être rendu arbitrairement petit pour grand.
donc

[fahr451]

en posant

Bn = union Ak pour k >=n

les Bn sont décroissants (pour l inclusion) donc

lim inter mu (Bn) = lim mu (Bn) [ = et non =< ]

or mu (Bn ) =< sigma mu (Ak) k=< n (inégalité de boole)

avec le terme de droite qui tend vers 0

[Epsilon]

merci abcd et merci mathelot tu a corrigé ma faute
"c est des encsembles donc lim sup =intersection de la rénion"
et merci fahr
mais j'ai une question pour fahr
tu a mis = au lieu de =< du fait que la suite Bn est decroissante non?

[BQss]

merci abcd et merci mathelot tu a corrigé ma faute
"c est des encsembles donc lim sup =intersection de la rénion"
et merci fahr
mais j'ai une question pour fahr
tu a mis = au lieu de =+\infty} B_n=\cap_{n} B_n[/TEX]
Oui la suite est decroissante, c'est une suite sur l'union des ensemble k>n, c'est l'indice n qui croit, la reunion au rang n+1 alors est incluse dans la reunion au rang n...

A chaque rang c'est la meme reunion qu'au rang precedent mais avec l'element A(n-1) en moins, c'est donc un ensemble inclu dans le precedent.



d'ailleurs je viens de voir, Fahr a ecrit ca:

lim inter mu (Bn) = lim mu (Bn) [ = et non =< ]

Mais fait attention mu(Bn) ce n'est pas un ensemble mais un réel, on ne peut pas ecrire inter mu(Bn), mais plutot mu (inter Bn)= mu(lim Bn) = lim mu (Bn)"
possible grace au theoreme de convergence dominé car mu est une mesure fini.

[Epsilon]

oui je connais que Bn est décroissante merci BQSS

[BQss]

oui je connais que Bn est décroissante merci BQSS

C'est surtout que quand la suite est decroissante on a l'idée de l'egalité qu'il a ecrite et que je t'ai rapellé, c'etait ta question non?
--> "mu ( inter Bn) = mu(lim Bn) = lim mu (Bn)" (= inf mu(Bn) meme)

car Bn inclu dans omega avec mu(omega)0

et tu as ton resultat.

[BQss]

Avec l'idée de la demo mathelot et en tenant compte que la mesure est fini ce qui n'est pas valable si non, ca donne:
=
(definition de Bn donnée par Fahr)
=
(B_n une suite decroissante)
=
(convergence dominé avec existe)

(propriété sur les reunions denombrables )

(hypothese+ reste d'une serie convergente)
=

[BQss]

*Edit finalement la demo de mathelot est juste aussi, pas besoin de supposer que la mesure est fini comme c'est precisé dans l'enoncé, par contre ca peut servir pour d'autres demos...

[Epsilon]

merci pour le detail BQss
donc si le mesure n'est pas fini alors on peut pas utiliser l'égalité si je comprend bien !

[BQss]

oui c'est ca.

[fahr451]

absolument bqss

coquille
lire
mu (inter Bn) = lim mu (Bn) pour (Bn) décroissante

[BQss]

merci pour le detail BQss
donc si le mesure n'est pas fini alors on peut pas utiliser l'égalité si je comprend bien !

la vrai formule c'est =

et donc si n'est pas fini tu ne peux ecrire = -

car ces mesures sont peut-etre infinis, n'a pas de sens ...
Ce qui fait que dans la demo de mathelot on ne peut conclure ici...
si on ne precise pas que la mesure est fini.

Enfin bon c'est un detail. Il faut juste rajouter une phrase, et comme la mesure est finie blabla...

*edit pas besoin de preciser que la mesure est fini finalement

[BQss]

Salut Fahr, tu vas bien.

D'ailleurs je viens de me rendre commpte aussi.
[quote]or mu (Bn ) ==n(t'as ecrit k<=n), c'est pour ca au debut j'avais pas fait le raprochement lol.

D'ailleurs moi aussi je l'ai utilisé sans le preciser en fait(boole, pour la derniere etape et que c'est valable quand les mesures sont finis, d'apres l'egalité du post d'avant).

La demo de mathelot a le merite elle en tout cas de n'avoir meme pas besoin du theoreme de convergence dominé.

Il contourne le probleme grace a la majoration:


Ce qui est tout a fait vrai valable meme pour les mesure infinis.

[BQss]

Bon je viens de regarder mon cours de licence, car ca m'intrigue.

Et apparemment la formule est aussi valable pour les mesures non fini, j'ai la demo elle est tres claire.
Ce qui n'empeche qu'on ne peut utiliser la formule que j'ai rappelé plus haut pour les mesures non finis:
= - .

Juste que la demo de cette inégalité:

ne vient pas de la donc...

Je connaissais cette demo(celle du probleme posé pas de l'inegalité) avec le theoreme de convergence dominé qui necessiste qu'on suppose que la mesure est fini , et je constate la qu'on a absolument pas besoin de ca ni meme de supposer que la mesure est fini. Il serait donc superflu de supposer que la mesure est fini comme c'est énoncé dans ton probleme...

Ce theoreme est valable pour n'importe qu'elle mesure dont la somme
est convergente, fini ou pas.

La demo de mathelot est bonne...