Suite définie par une intégrale

[Quidam]

Bonjour à tous !

Voici un exercice posé à l'oral d'un concours. Je devrais savoir le faire, mais, après l'avoir tourné dans tous les sens, je ne trouve pas et je commence à manquer d'idées nouvelles !
Merci à celui qui aura une idée.

Trois questions : seule la troisième me pose problème.

Soit la famille de fonctions définies par



pour tout réel x et

et
pour tout et tout .

1. Déterminer .
2. Montrer que pour tout est une fonction polynôme.
3. Soit u la suite définie par



pour tout . Montrer que u est une suite géométrique et donner la valeur de en fonction de n.

J'ai calculé , et , puis , et et constaté effectivement que . Mais cela ne démontre évidemment pas que u est une suite géométrique !

Merci d'avance !

[pusep]

tu peux considérer le fait que cos x= Re (e(ix)) après tu en déduis une suite géométrique

[skilveg]

Voici ce que je fais: clairement . Après, la définition de implique ; en intégrant deux fois par partie, est proportionnelle à , et le tour est joué.

En espérant ne pas dire trop d'âneries...

[Quidam]

pusep, je ne comprends pas ta démonstration !

skilveg, je crois que tu as raison, je vais vérifier ça !

Merci à tous deux en tous cas de votre contribution !

[pusep]

j'ai du te dire n'importe quoi^^ je pensais partir sur une piste mais je viens de vérifier ça marche pas, dsl

[mathelot]

Bj,

quelques indications

et
pour tout et tout .

L'égalité précedente se dérive , par rapport à la variable x,
et s'exprime en fonction de

On intégre ensuite deux fois par parties.

(euh, désolé, je viens de répéter ce qu'écrit Skilweg :hum: )

[Quidam]

En espérant ne pas dire trop d'âneries...

Bien au contraire. Ca marche impeccable ! Merci mille fois.


Et merci à mathelot aussi !