Suite complexe

[Anonyme]

Suis-je parti dans la bonne direction ? :
Pour l'etude de la suite complexe :
u(o) = a et pour tout n entier naturel,
u(n+1) = 1/2 x ( u(n) + |u(n)| )

Alors tout d'abord j'ais mis u(n) sous forme trigonométrique puis j'ais ecrit l'expression de : u(n+1) - u(n) qui me donne :

u(n+1)-u(n) = 1/2 x r x ( 1- e(in(téta)))
où r est le module de u(n) et x est le signe multiplier .
Ensuite j'ais étudier chacun des cas pour que u(n+1) - u(n) soit
- positif : r positif et e(in(téta)) plus petit que 1
ou r negatif et e(in(téta)) plus grand que 1
- negatif : r positif et e(in(téta)) plus grand que 1
ou r negatif et e(in(téta)) plus petit que 1

Voila, est-ce que cela est correcte ou ais-je fais une erreur ?

Merci d'avance

[jeroM]

bonjour,
ce que tu fais n'a pas de sens:
u(n+1)-u(n) est un nbre complexe, comme différence de nbres complexes, donc u(n+1)-u(n) ne peut être positif ou négatif.
Si on considère la suite x(n)=module(u(n)), alors on peut montrer que:
x(n+1)=module(1/2*(u(n)+module(u(n))) = 1/2* module(u(n)+module(u(n))) =1/2*2*module(u(n))=module(u(n))=x(n)
donc x(n+1) La suite x(n) est décroissante et minorée par 0, car un module est positif.
La suite x(n) admet donc une limite, malheureusement on ne peut pas conclure que la suite u(n) converge.
exemple: u(n)=exp(nix) (x réel quelconque) alors x(n)=module(u(n))=1 et a pour limite 1, mais la suite u(n) ne converge pas.