Suite de cauchy

[HAFSSA]

salut! je viens de démontrer que toute suite de cauchy est bornée .
je me demande si la réciproque est fausse (ce qui me parait le cas) si oui veuillez me donner un contre exemple.

[mathelot]

bonsoir,


Une suite à valeurs réelles, bornée et non convergente n'est pas de Cauchy. En effet, pour les suites à valeurs réelles, "être de Cauchy" est équivalent à "être convergente". On dit que est un espace vectoriel complet. n'est pas complet, il y a des suites de Cauchy de rationnels non convergentes. Par exemple, la suite définie par et est une suite de rationnels de Cauchy mais ne convergeant pas dans .On construit d'ailleurs l'ensemble des réels comme les classes de suites de Cauchy rationnelles pour la relation d'équivalence si et seulement si quand n tend vers l'infini.

[HAFSSA]

\mid U_{2n}-U_{2n+1}\mid =2\succ 1 estce que ceci prouve que Un n'est pas de cauchy en prenant epsilon=1.
je me rends compte qu'utiliser la divergence pour justifier que Un n'est pas de cauchy n'est pas si judicieux puisque la question suivante traite la convergence de toute suite de cauchy donc je ne peux l'utiliser comme justification

[mathelot]

écrire que la suite (u) n'est pas de Cauchy :

[HAFSSA]

oui oui je vous remercie!

[mathelot]

\mid U_{2n}-U_{2n+1}\mid =2\succ 1

je n'ai pas compris ces notations

[HAFSSA]

donc on prend epsilon =1