Suite de cauchy(un exercice)

[ichii72]

Bonjour,
J'ai compris le principe mais j'ai du mal avec certaine majoration comme celle de l'exo 10 :
http://www.noelshack.com/2017-09-148872 ... suite.jpeg
Voici ce que j'ai fait :
http://www.hostingpics.net/viewer.php?i ... nnamed.jpg
Et j'arrive pas à terminer la majoration, si qu'elle qu'un pourrai m'aider ^^
Merci d'avance !

[Ben314]

Salut,
Y'a deux méthode :
- Soit on continue ce que tu as commencé vu qu'il s'avère que jusque là c'est bon, mais on va dire que c'est "de la chance" car en majorant une série alternée (avec des + et des - qui se compensent) par des trucs en valeur absolu, tu prend un très gros risque de majorer un truc convergent par un truc divergent (ce qui ne sert évidement absolument à rien)
- Soit tu revient (un peu) en arrière et tu cherche à majorer le bidule avec de +/- en utilisant justement cet alternance de +/-.
Mais cette méthode là, bon gré, mal gré, ça revient à (re)démontrer le critère sur les séries alternées que tu as sans doute déjà vu en cours.

Donc y'a qu'à dire qu'on continue dans la foulée de ce que tu as fait et il faudrait évidement majorer 1/(2k)! par un truc qu'on sait facilement sommer.
Y'a quoi qu'on sait facilement sommer en fait ?

[ichii72]

Les séries sont du programme de 2ème année de ma fac(je suis en 1ère année), du coup je savais pas que j'ai eu un peu de chance
Et voilà mon problème : par rapport à la somme je vois pas trop par quoi majorer 1/(2k)! j'ai trouver 1/4^k en faisant quelques test mais je suis pas vraiment sûr de la chose.

[Ben314]

Effectivement, si on va dans cette voie là, il faut majorer par une suite géométrique (vu qu'on sait facilement les sommer) de raison <1 pour que les sommes convergent.
Et montrer que 1/(2k)! <= (1/4)^k, ça revient à montrer que (2k)! >= 4^k et c'est un peu faux au début (pour k=1), mais c'est correct ensuite (pour k>=2) et ça se démontre les doigt dans le nez par récurrence.

Et si tu as jamais vu les séries (en particulier les séries alternées), ben ça veut dire que tu peut essayer l'autre méthode vu qu'on pourra pas dire qu'il y a "plagiat".
Le tout, c'est de voir comment majorer une somme contenant des + - + - + -, etc autrement qu'à la bourrin :
Rien qu'avec un truc tout con style 1/100-1/101+1/102-1/103+1/104-. . .+1/200, si tu fait le calcul à la calculette (programmable), tu verra que c'est très nettement plus petit que 1/100+1/101+1/102+1/103+1/104+. . .+1/200 et c'est pour ça que je disait qu'on "prend des risques" en majorant l'un par l'autre : on risque de majorer du "petit" par du "pas petit du tout" et évidement c'est foutu ensuite.

[pascal16]

En même temps, avec une factorielle en bas, on peut n'être pas trop finaud dans les calculs.