Subjectivité application linéaire, matrice,coeff inconnu

[Françoisdesantilles]

Bonjour, j'envoi ce message non pas parce que je n'ai pas résolue l'exercice mais parce que j'aimerai aller plus loin dans la compréhension des notions et savoir si mes remarques sont bonnes(si elles sont vraies)?

Enoncé
Soient deux réels et

.


Déterminer les valeurs de et pour lesquelles l'application linéaire associée à est surjective.
Mes remarques :
Ici ce qu'on nous demandais c'est de trouver les réels alpha et bêta tel que l'ensemble de départ soit l'ensemble d'arrivé, or dans l'énoncé l'ensemble de départ(espace de départ) c'est R4, et l'espace d'arrivé c'est R3, du coup ici on veut trouver alpha et bêta telque nbre ligne =nbre colonne =3.On veut une matrice 3 x 3 dit autrement??
Rappel de déf: Comment montrer une surjectivité ?
On dit qu'une fonction f:A→B est surjective si pour tout b∈B, il existe (au moins) un a∈A tel que f(a)=b.

Déf 2: En mathématiques, une surjection ou application surjective est une application pour laquelle tout élément de l'ensemble d'arrivée a au moins un antécédent, c'est-à-dire est image d'au moins un élément de l'ensemble de départ. Il est équivalent de dire que l'ensemble image est égal à l'ensemble d'arrivée.

[Ben314]

Salut,
Vu le contexte (d'algèbre linéaire), il y a moyen d'aller très vite (en évaluant le rang de la matrice via un échelonnage), mais vu que tu n'a vraiment pas l'air à l'aise avec la notion de surjection, je me demande si le plus malin, ça serait pas de commencer par le faire "entièrement à la main" pour comprendre un peu mieux la logique du bidule.
Bref, dans le cas présent, c'est quoi un élément Y de l'ensemble d'arrivé ?
On fixe un tel élément Y et on va regarder s'il existe un (ou plusieurs) élément X de l'espace de départ ayant ce Y là pour image.
C'est quoi un élément X de l'ensemble de départ ?
C'est quoi l'image d'un tel X par ton application ?
Donc c'est quoi qu'il y a à résoudre (avec quoi de "supposé connu" et quoi comme inconnues ?)

P.S. Et contrairement à ce que tu as l'air de penser, la matrice d'une application linéaire surjective n'est pas forcément carrée.

[Françoisdesantilles]

Salut,
un élément Y de l'ensemble d'arrivée c'est un vecteur qui a 4 coordonées (x,y,z,t) .Un élément x c'est un vecteur à 3 coordonnées.
l'image d'un tel X c'est un vecteur à 4 coordonnées.
On doit donc résoudre: (x+3y++, ... , ... )= ( x+2y-z,3x-y+z , ,... , ... ).
Je vais le réécrire sur une feuille pour que ça soit plus clair

[GaBuZoMeu]

Bonjour,
Tu te trompes de sens.
Le nombre de lignes, c'est la dimension de l'espace d'arrivée et le nombre de colonnes, la dimension de l'espace de départ.

[Françoisdesantilles]

ah oui tu as raison il vaut mieux écrire ça sur feuille avant merci!
Ce qui donne

ah oui tu as raison il vaut mieux écrire ça sur feuille avant merci!
Ce qui donne



Le truc c'est que deux vecteurs sont égaux si ils ont le même nombre de coordonée, donc à moins que qu'on rajoute 0 comme dernière coordonnée pour le vecteur à 3 coordonées

[catamat]

Bonjour

Ce n'est pas encore ça
On prend un vecteur de l'espace d'arrivée Y=(u,v,w) et on cherche un vecteur X de l'espace de départ, X=(x,y,z,t), tel que X ait pour image Y.

c'est à dire que l'on doit avoir (u,v,w)=(x+3y+.... , ........ , -x+y+2z)

[Ben314]

Le mini du mini à comprendre sur les matrices, c'est que, par exemple dans le cas présent où tu as une matrice de 3 lignes et de 4 colonnes, quand tu va l'appliquer à quelque chose, ça signifie que tu va faire le produit de cette matrice par un vecteur colonne placé à droite de la matrice.
Et la définition du produit matriciel : on fait les produits "ligne par colonne" te dit alors qu'il faut que le vecteur colonne ait 4 coordonnées (= nombre de termes dans les lignes de la matrice de départ).
Et une fois le produit de la matrice par le vecteur effectué, le résultat sera un vecteur colonne avec 3 coordonnées (= nombre de lignes de la matrice de départ).
Bilan : ta matrice correspond à une application (linéaire) d'un espace vectoriel de dimension 4 sur un espace vectoriel de dimension 3.

[Françoisdesantilles]

Ah oui j'ai négligé cette partie cours.
Ce que tu as dis revient à dire que le rang de doit être égal à la dimension de l'espace d'arrivée. Dans ce cas, l'espace d'arrivée est (car la matrice est ).
Mais avant de dire des bêtise je vais revoir ça merci!

[Ben314]

Non, le rang ce n'est pas la dimension de l'espace d'arrivé, c'est la dimension de l'image de l'application linéaire (=l'ensemble des images des vecteurs de l'espace de départ : c'est un sous-espace vectoriel de l'espace d'arrivé et pas forcément l'espace d'arrivé tout entier).
Par exemple, pour l'application de R^2 dans R^2 qui, à tout (x,y) associe (x+y,x+y) (qui est bien linéaire), l'espace d'arrivé c'est R^2 de dimension 2, alors que dans l'image, il n'y a clairement que les vecteur de la forme (z,z) qui forment un s.e.v. de dimension 1 de R^2 donc le rang de cette application linéaire c'est 1 et pas 2.