[PCSI][Mathématiques]Structures usuelles, entiers et dénombrement

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Lucky
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[PCSI][Mathématiques]Structures usuelles, entiers et dénombrement

par Lucky » 13 Déc 2006, 22:49

S'il vous plaît, j'ai ça à faire en mathématiques, et je vois absolument pas comment m'y prendre... Un petit peu d'aide serait la bienvenue ^^
Merci d'avance :

"Soit n appartenant à IN
On note An le sous ensemble des pts du plan IR² défini par An={(x,y), x,y € [0,n]}

x,y sont entiers :
Dénombrer les ensembles :

1. L'ensemble des segments [A,B] où A différent de B sont des éléments de An qui sont parallèles à l'axe des abscisses ou des ordonnées.

2. L'ensemble des rectangles ABCD, avec A,B,C,D distincts 2 à 2, apparatenant à An et dont les côtés sont parallèles aux axes de coordonnées. (compter les diagonales)

3. L'ensemble des carrés parmi les rectangles ci dessus."



fahr451
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par fahr451 » 13 Déc 2006, 23:05

ben suffit de compter

on compte les segments "horizontaux" un segment est la donnée de deux points distincts sans ordre

(il y a autant de segments "verticaux")
pour k entre 0 et n on compte les segments horizontaux à l abscisse k ( y = k)

il suffit de choisir deux abscisses entières diférentes entre 0 et n
2 parmi n façons = n(n-1)/2
d'où (n+1)n(n-1)/2 segments horizontaux et (n+1)n(n-1) segments verticaux ou horizontaux

Lucky
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par Lucky » 14 Déc 2006, 00:01

En rédigeant bien ça donne quoi svp ? j'ai beaucoup de mal avec ça, j'arrive pas à me représenter tout ça... :s Il me faudrait une réponse plus détaillée, car ça a beau me paraitre juste, mais je comprend pas vraiment...
Merci d'avance :briques: :hein:

fahr451
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par fahr451 » 14 Déc 2006, 00:14

ben je recommence [ je me rends compte d 'ailleurs que j'ai fait une boulette]

on compte les segments horizontaux d'ordonnée 0
on choisit donc deux entiers entre 0 et n il y a 2 parmi n+1( et non n ) façons de le faire à savoir (n+1)n/2
Il y en a le même nbre pour toute ordonnée (comprise entre 0 et n) donc
(n+1)(n+1)n/2 segments horizontaux et le même nombre d e verticaux donc
(n+1)(n+1)n segments au total.

Lucky
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par Lucky » 14 Déc 2006, 00:28

Ok et pour le 2, il faut introduire deux autres points ? Les probabilités se font selon les diagonales ?
Encore merci ;)

fahr451
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par fahr451 » 14 Déc 2006, 00:36

c'est plus subtil je trouve (en dénombrement on a vite fait de dire une bêtise sans s 'en rendre compte compter deux fois la même chose par exemple)

si on se donne une seule diagonale on reconstitue sans peine un unique rectangle à côtés parallèles aux axes. Mais Il y a deux diagonales qui donneront le même rectangle
donc on compte le nbre de segments d'extrémités deux points à coordonnées entières ds [0,n] et on divise par deux (principe des bergers: on a compté les pattes et pour avoir le nbre d e moutons on divise par le nbre de patte par moutons ; ici le mouton a deux pattes)

fahr451
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par fahr451 » 14 Déc 2006, 00:44

enfin je trouve que l 'indication des diagonales n 'en est pas une car il est délicat de compter les diagonales : une diagonale est donnée par deux points "entiers" à abscisse et ordonnée différentes.

j'aurais vu les choses autrement : un rectangle inclus ds An est la donnée de 2 abscisses différentes et 2 ordonnées différentes (on reconstruit sans ambiguité un unique rectangle ainsi) 2 parmi n+1 pour le choix des ordonnées et idem pour les abscisses donc [(n+1)n/2]^2 tels rectangles.

yos
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par yos » 14 Déc 2006, 00:58

Moi aussi, vue la question 1, j'aurais fait comme toi.
Si on tient absolument à compter les diagonales,
on compte les paires de points : 2 parmi (n+1)²
on retire les paires horizontales ou verticales (qui donnent des rectangles aplatis) : n(n+1)²,
on divise par deux car chaque rectangle non aplati a deux diagonales.

aviateurpilot
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par aviateurpilot » 16 Déc 2006, 19:41

Lucky a écrit:S'il vous plaît, j'ai ça à faire en mathématiques, et je vois absolument pas comment m'y prendre... Un petit peu d'aide serait la bienvenue ^^
Merci d'avance :

"Soit n appartenant à IN
On note An le sous ensemble des pts du plan IR² défini par An={(x,y), x,y € [0,n]}

x,y sont entiers :
Dénombrer les ensembles :

1. L'ensemble des segments [A,B] où A différent de B sont des éléments de An qui sont parallèles à l'axe des abscisses ou des ordonnées.

2. L'ensemble des rectangles ABCD, avec A,B,C,D distincts 2 à 2, apparatenant à An et dont les côtés sont parallèles aux axes de coordonnées. (compter les diagonales)

3. L'ensemble des carrés parmi les rectangles ci dessus."

j'ai pas le temps pour lire tous les reponce
mais voila ce que j'ai trouvé
1) car on a points dans chaque ligne ou colone
2) car a chaque fois qu'on choisi (qui presente et et on peux obtenir et a l'aide de et ) point parmi les pts on a un rectangle ou un segment qui verifie les condition du question (1)
3) il y a carrés de surface
donc leurs nombre c'est

fahr451
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par fahr451 » 16 Déc 2006, 21:26

-> aviateur 1) et 2) me semblent fausses

yos
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par yos » 16 Déc 2006, 21:47

djéser a écrit:Jai suivi le même raisonnement que vous, mais ce que je ne comprends c'est pourquoi vous considérez que ces deux cas sont identiques : le segment [AB] avec A(1,2) et B(1,1) et le cas [AB] avec A(1,1) et B(1,2). Il n'y aurait pas de différence entre dire combien de segments vérifie ça et combien de segments [AB] vérifie ça?

C'est seulement une question de noms des points et d'ailleurs [AB]=[BA]... Mais je suis pas sûr d'avoir saisi ton problème.

aviateurpilot
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par aviateurpilot » 16 Déc 2006, 23:01

fahr451 a écrit:-> aviateur 1) et 2) me semblent fausses


1)
pour ; par exemple

A(0,0),B(0,1)
A'(1,0),B'(1,1)
AB,AA',BB',A'B' c'est

2) (j'ai seulement oublié de diviser le tout par 2 :we: )
pour ;
ABA'B'
3) il y a carrés de surface
donc leurs nombre c'est

fahr451
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par fahr451 » 16 Déc 2006, 23:40

1) absolument correct; désolé, j'avais donné le même résultat d'ailleurs.
je n'avais vérifié que le 2) et le 3) .

aviateurpilot
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par aviateurpilot » 17 Déc 2006, 01:20

fahr451 a écrit:1) absolument correct; désolé, j'avais donné le même résultat d'ailleurs.
je n'avais vérifié que le 2) et le 3) .

ah oui,c pas grav
:++:

 

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