Structure d'anneau

[ComeDuRondeau]

Hello,

Je me demandais s'il existait plusieurs classes d'isomorphisme d'anneaux ayant pour groupe additif sous-jacent isomorphe à . Intuitivement, je dirais qu'il n'y a qu'une seule classe mais je n'arrive pas à le montrer.

Vous avez des idées ?

[Ben314]

Salut,
J'ai pas encore réfléchi à la question, mais ça risque de dépendre de ce que tu met dans la définition d'anneau :
- Forcément commutatif ?
- Forcément unitaire ?
(si je dit ça, ça vient aussi du fait qu'en fonction du contexte, on prend pas toujours la même définition de ce qu'est un anneau)

[ComeDuRondeau]

Ah oui oui oui pardon, commutatif et unitaire. Même avec ces deux hypothèse, je n'ai pas réussi à m'en tirer. Avec le morphisme caractéristique j'obtiens que admet un sous anneau isomorphe à avec mais même comme ça je m'en sors pas.

[Ben314]

Pour commutatif unitaire, il n'y a qu'une seule structure multiplication à isomorphisme près :
Notons * la "nouvelle" multiplication, e son neutre.
Cherchons l'ordre additif de e : soit k un entier naturel tel que e+e+...+e=0 (k fois e). On a donc (e+e+...+e)*1=0*1=0 puis en distribuant et du fait que e*1=1 on obtient 1+1+...+1=0 ce qui signifie que k est multiple de n. Donc l'ordre additif de e c'est n et ça signifie que e est inversible pour la multiplication usuelle : soit d son inverse (pour le produit usuel). Si on prend maintenant deux éléments quelconques x et y de Z/nZ et qu'on considére des entiers naturels p et q tels que classe(p)=dx et classe(q)=dy on a x=classe(p)e=e+e...+e (p fois) et, de même, y=e+e+...+e (q fois) donc en développant x*y et compte tenu du fait que e*e=e, on a
x*y=e+e+...+e (pq fois) c'est à dire
x*y=classe(pq)e=(dx)(dy)e=dxy.
Et si on note f l'automorphisme additif de Z/nZ défini par x->dx alors on a f(x*y)=f(x)f(y) ce qui prouve que les deux structures sont isomorphe (et en fait on peut prendre comme neutre du nouveau produit n'importe quel élément inversible pour le produit usuel)

[ComeDuRondeau]

On a donc (e+e+...+e)*1=0*1=0 puis en distribuant et du fait que e*1=1 on obtient 1+1+...+1=0 ce qui signifie que k est multiple de n.

Très habile ! On peut en fait s'arrêter là ! Ça nous dit que la caractéristique de est donc que le noyau de est l'idéal donc par le théorème d'isomorphisme on a qui contient un sous-anneau isomorphe à qui est par égalité des ordres.

Merci Ben !