Structure d'anneau de Z/nZ

[Tuvasbien]

Bonjour, je me demandais quelles sont les structures d'anneaux que l'on peut mettre sur le groupe (en plus de la structure habituelle, s'il y en a) ?

[Ben314]

Salut,
La question est pas super claire : tu part de l'addition usuelle + sur Z/nZ et tu cherche quelles sont les différentes multiplications x telles que (Z/nZ,+,x) soit un anneau ?
Si c'est bien ça, j'ai pas la réponse (j'ai pas réfléchi, mais ça me semble marrant comme question).
Eventuellement (à voir...) il faudrait préciser ce que tu entend par "anneau" vu que c'est pas toujours très clair sans contexte : forcément unitaire ? forcément commutatif ?

[Tuvasbien]

tu part de l'addition usuelle + sur Z/nZ et tu cherche quelles sont les différentes multiplications x telles que (Z/nZ,+,x) soit un anneau ?

Oui c'est ça, je considère le groupe et je cherche toutes les lois telles que soit un anneau.

Eventuellement (à voir...) il faudrait préciser ce que tu entend par "anneau" vu que c'est pas toujours très clair sans contexte : forcément unitaire ? forcément commutatif ?

Pour moi un anneau est tel que est un groupe abélien (c'est le cas ici), est associative et distributive par rapport à . Je suppose de plus que la loi a un élément neutre, donc que est unitaire.

[Ben314]

Sauf erreur, si est un anneau [unitaire], qu'on considère un automorphisme du groupe et qu'on définie la loi sur par alors est aussi un anneau [unitaire d'unité ].
Si c'est bien le cas, ça permet de définir plusieurs multiplications sur Z/nZ et plus précisément de choisir n'importe quel élément inversible (pour la multiplication usuelle) comme neutre de la nouvelle multiplication.
Et comme il me semble que le choix de l'unité pour la nouvelle multiplication (dans Z/nZ) détermine entièrement cette nouvelle multiplication, je pense que ce sont les seules structures possibles.

[GaBuZoMeu]

Une petite démonstration qui corrobore ce qu'affirme Ben314

Soit un anneau de cardinal dont le groupe additif est cyclique. Soit l'élément neutre de pour la multiplication, et soit l'ordre additif de . Alors l'ordre additif de tout élément de divise : en effet . Puisque le groupe additif de est cyclique d'ordre , et est d'ordre additif . L'application donne alors un isomorphisme d'anneaux de sur .

Ce raisonnement ne tient plus pour les pseudo-anneaux (où on ne demande pas l'existence d'un élément neutre pour la multiplication - rng en anglais). Et l'idéal fournit un exemple de pseudo-anneau de cardinal dont le groupe additif est cyclique mais qui n'est pas isomorphe en tant que pseudo anneau à .