Stricte croissance

[Vuze49]

Bonjour,
j'ai réussi à démontrer ce théorème :
et pour moi il en était de même pour celui ci :
.
Or c'est faux en considérant qui est strictement croissante sur [-1;1], et pourtant f'(0)=0.

Que faut-il changer dans le second théorème pour que celui ci soit juste?

Merci

[Nightmare]

En fait ce n'est pas une équivalence.

Déjà il manque évidemment la condition f dérivable, on peut avoir des fonctions strictement monotones non dérivables partout.

Ensuite pour que ce soit une équivalence, je dirais sans assurance qu'il faut et nulle presque nulle part.

[Vuze49]

il faut et nulle presque nulle part.

C'est à dire?

[Nightmare]

nulle sauf sur un ensemble de mesure nulle.

[kazeriahm]

ouai en fait si f' est de signe constant et s'annule sur un ensemble d'intérieur vide alors f est strictement monotone.

est-ce que dérivée de signe constant s'annulant sur mesure nulle => f strictement monotne ? (il y a des trucs très interessants autour de ces questions, cf escalier de cantor)

[quinto]

Il faut faire attention, de mesure nulle n'est pas la "bonnde condition" à mettre, c'est plus d'intérieur vide qui est correct.

On peut par exemple construire un ensemble de Cantor d'intérieur vide mais de mesure non nulle, c'est d'ailleurs plutot facile.

Quant à l'escalier de Cantor, il faut faire attention, la fonction n'est pas dérivable partout mais seulement presque partout. Elle n'est pas absolument continue et c'est de là que vient le problème.