Stone-Weierstrass

[jeje56]

Bonjour,

Je cale sur cet exo :


La version du théorème que nous avons vu en cours :

Si X est un compact et A une sous-algèbre de C(X,R) et si :
1) Pr tout x il existe f ds A tq f(x) différent de 0
2) Pr tout x,y tq x différent de y il existe f ds A tq f(x) différent de f(y)
Alors A est dense dans C(X,R)

Merci bcp

[alavacommejetepousse]

avec ton théorème que dois tu démontrer ?

[jeje56]

Il faut trouver deux fonctions (au plus) vérifiant les conditions...

[abcd22]

Bonjour,
Le 1) du théorème dit « pour tout x, il existe f... », ce qui signifie que la fonction f peut dépendre de x, et pour le 2) pareil, la fonction f peut dépendre de x et y, et elle n'a rien à voir a priori avec les fonctions f du 1); ce qui signifie qu'on peut très bien avoir à « trouver » beaucoup plus que 2 fonctions quand on applique ce théorème : on peut trouver une fonction pour chaque valeur de x pour la première condition et une pour chaque couple (x, y) pour la deuxième condition.
Cependant ici on est dans un cas simple et on peut y arriver avec une seule fonction qui ne s'annule pas sur [0;1] (donc vérifie le 1) pour tout x), est injective (condition 2) pour tous x et y) et de classe C^3 (ou plus), tu n'as vraiment pas d'idée de fonction simple qui vérifie ça ?
Il faut aussi ne pas oublier de dire que l'ensemble qui nous intéresse est bien une sous-algèbre de (C[0;1], R).

[Maxmau]

Bj
Le théorème de Stone Weierstrass que je connais dit qu'une fonction réelle continue sur un intervalle compact peut être approché uniformément pas des polynômes (qui sont des fonctions C3)

[abcd22]

Oui, le théorème cité par jeje56 est plus général que la version avec les polynômes, et on le voit plus tard généralement (ce qui m'étonne, en y pensant, car la démonstration de la version générale est plutôt plus simple que la démonstration dans le cas des polynômes, j'ai peut-être raté un truc en lisant la démonstration). En fait le résultat sur les polynômes est dû à Weierstrass et la généralisation à Stone.

[ffpower]

plus simple mais plus abstraite..et faut utiliser que | | est approchable uniformement par des polynomes,sans le stone weirstrass simple c un peu plus chiant..

[jeje56]

Bonjour,

Merci à tous pour votre aide,

Cependant ici on est dans un cas simple et on peut y arriver avec une seule fonction qui ne s'annule pas sur [0;1] (donc vérifie le 1) pour tout x), est injective (condition 2) pour tous x et y) et de classe C^3 (ou plus), tu n'as vraiment pas d'idée de fonction simple qui vérifie ça ?

Je pense à un polynôme de degré 3 de terme constant non nul... mais est-ce bien de classe C^3 ?

[jeje56]

Soit P : x->x^3+x²+x+1

P'(x)=3x²+2x+1

Vérifions la continuité :

est-ce que pr tout x il existe k tq |P'(x)|<=k*|x| ?

Merci de votre aide.

[abcd22]

Il y a plus simple qu'un polynôme de degré 3...
Attention « f continue si et seulement si il existe k tel que pour tout x, |f(x)| <= k|x| », ce n'est vrai que si f est linéaire, et il faut faire attention à l'ordre des quantificateurs : dans ce que j'ai écrit k ne dépend pas de x, dans ce que tu as écrit k peut dépendre de x, ce n'est pas du tout la même chose, mon énoncé donne une condition beaucoup plus forte que le tien (l'énoncé « pour tout x, il existe k tel que |f(x)| <= k|x| » est équivalent à « f(0) = 0 »).
Mais tu dois avoir vu que les polynômes sont de classe de toute façon, non ?

[jeje56]

Exact, autant pr moi pour l'ordre des quantificateurs, je comprends bien la différence...

Oui pr les polynômes C^infini...

Merci

[jeje56]

Bonsoir,

Est-ce qu'un polynôme de degré 3 de terme constant non nul suffit pour prouver que C^3([0,1],R) est dense dans C([0,1],R) ?

Merci bcp ;-)

[jeje56]

on peut y arriver avec une seule fonction qui ne s'annule pas sur [0;1] (donc vérifie le 1) pour tout x), est injective (condition 2) pour tous x et y) et de classe C^3 (ou plus), tu n'as vraiment pas d'idée de fonction simple qui vérifie ça ?

Je ne vois pas... Quelqu'un a une idée ?

Par contre x->1 vérifie 1) et x->x^3 vérifie 2) non ?

Merci bcp !