Stats: tests d'hypothèse Exercice E.9.2

[mathelot]

bonjour,
je suis intéressé à résoudre cet exercice (le E.9.2 de Maxime):

Un négociant en vin s'intéresse à la contenance des bouteilles d'un cru
d'une année déterminée. A cet effet, il mesure le contenu de 10 bouteilles,
prises selon un échantillonnage aléatoire simple et obtient les valeurs:
73,2 72,6 74,5 75,0 75,0
73,7 74,1 75,1 74,8 74
En supposant la normalité de la distribution du contenu, peut il en conclure
que le contenu moyen des bouteilles de cette production est inférieur à 75cl
au niveau de probabilité 0,05 ?

merci.

la moyenne de l'échantillon est: 74,2 (c'est une réalisation de la v.a "moyenne empirique")
l'estimateur de la variance vaut: 6.4/9=0.7111
Si



et ensuite ?

[zygomatique]

salut

vu le peu de valeurs de l'échantillon un test du khi2 serait plus approprié ...

ce me semble-t-il ...

je pense que ::

H0 :: m = 0,75
H1 :: m < 0,75

puis test unilatéral ...

[maxnihilist]

Bonsoir,

De lointaine mémoire...(peut-être faux) j'opterais pour un test sur la moyenne avec un t-test ... même avec un faible nombre de données puisque la table nous fournira une valeur avec ce nombre ET que la population est par ailleurs supposée normalement distribuée et de variance inconnue.

Je pose n la taille de l'échantillon.

Ensuite, il s'agit (je n'ai pas fait mes études en français, je ne me risquerais donc pas dans la traduction) d'un test one-sided et donc je suis d'accord avec tes hypothèses au petit détail près que l'hypothèse alternative doit être supérieure ou égale et non strictement. L'hypothèse nulle et alternative doivent englober l'ensemble des solutions possibles.

Tu fixes ensuite le degré de liberté (n-1) et ton "rejection point/critical value" avec 95% de confiance (voir une table student t "one-sided" avec le degré de liberté adéquat).

Il ne reste plus qu'à calculer le test : t = (moyenne de l'échantillon - moyenne hypothétique) / (ecart-type de l'échantillon / racine (n) ) et comparer la valeur obtenue avec la critical value.

[paquito]

Comme tu fais l'hypothèse que la population mère est distribué normalement, tu n'as même pas besoin d'appliquer le théorème central limite, car quel que soit la taille n de l'échantillon la variable aléatoire suis une loi
où m est la moyenne de la population mère et son écart type. le plus simple est de considérer que l'on connait . donc on va dire que, puis tu construis ton test:

contre

Seuil du test:
Statistique utilisée: la variable d'échantillon avec une taille d'échantillon
Type de test: unilatéral à gauche.
Détermination de la zone de rejet de H_0;sous H_0, suit une loi N(0, 1); déterminons le réel tel que ; donc; ça nous donne comme zone de rejet de
Décision: étant dans la zone de rejet de on rejete au seuil de ; l'erreur de 1° espèce est la probabilité de rejeter alors qu'elle est vrai.Donc la probabilité que notre décision soit fausse est majorée par 5%.

Tout ce que l'on a fait là utilise l'hypothèse de connaître, or c'est faux et dans ce cas et pour les petits échantillons on utilise le test de student . Il y a trop longtemps que j'ai travaillé là dessus pour donner des explications claires; mais tu trouveras tout sur le net.