Stats, Proba et EURO

[morsupil]

Bonjour,

Je me pose une question concernant la circulation des pièces des différents pays dans la zone euro. j'explique.
Je pose comme hypothèse que dans la zone euros, 20% des pièces sont francaises, 10% sont italiennes, 30% sont allemandes, 5% sont italiennes, 20% sont espagnoles.
Au départ de l'euro toutes les pièces francaises étaient en france, toutes les pièces italiennes étaient en italie etc etc.

Ma question :
Avec le temps tendant vers +l'infini et la circulation des personnes dans la zone Euro allons nous fatalement nous retrouver dans chaque pays avec:
20% de pièces francaises
10% de pièces italiennes
30% de pièces allemandes
5% d'italiennes
20% d'espagnoles

Ou y a t'il kk chose que j'oublie.

Si kkun sait me démontrer ca mathématiquement je suis preneur!!


;-)

[john32]

A premiere vue ma je pencherai pour des chaines de Markov avec des etats representant les pays.
Mais perso je pense que les probas sur les arcs influenceraient beaucoup les resultats et perso je pense que mon modele est quelque peu simpliste.

PS : tu mets deux fois des pieces italiennes

[ffpower]

et bien,dans ta modelisation,tu nous a expliqué la situation initiale,mais tu ne nous a pas expliqué quelle est la regle d évolution du systeme?Donc il faut que tu nous dise qu est ce qu il se passe a chaque étape(ie:comment circulent les pieces),car il y a a priori beaucoup de modelisations possibles.Est ce que ta regle d evolution est un truc du type:A chaque etape,on prend une piece au hasard et on la transfere dans un pays au hasard?Auquel cas je pense que la réponse a ta question est oui.Sinon,explique nous la regle d evolution,et on pourra p-e penser a etudier la dynamique(si elle est pas trop compliquée)

[morsupil]

et bien,dans ta modelisation,tu nous a expliqué la situation initiale,mais tu ne nous a pas expliqué quelle est la regle d évolution du systeme?Donc il faut que tu nous dise qu est ce qu il se passe a chaque étape(ie:comment circulent les pieces),car il y a a priori beaucoup de modelisations possibles.Est ce que ta regle d evolution est un truc du type:A chaque etape,on prend une piece au hasard et on la transfere dans un pays au hasard?Auquel cas je pense que la réponse a ta question est oui.Sinon,explique nous la regle d evolution,et on pourra p-e penser a etudier la dynamique(si elle est pas trop compliquée)

Justement toute la question est la... Quelle est la règle d'évolution dans la réalité? Je pense que les paramètres que j'oublient sont le nombre d'habitant de chaque pays et le %d'habitant qui voyagent a l'étranger dans chaque pays.

[ffpower]

EH bien le hic,c est que si tu veux faire un modele qui colle parfaitement a la réalité,c est a peu pres quasiment impossible vu l immensité du nb de parametres a tenir compte(nb d habitants,culture de la population,politique economique,tourisme,banques.. pour juste en citer quelques uns parmi beaucoup beaucoup d autres).Un modele,c est justement essayer de simplifier tout ca en un truc etudiable mathematiquement,sachant que plus le modele sera sophistiqué,plus il sera proche de la réalité(sauf si c est un mauvais modele bien sur) mais plus il sera compliqué a étudié mathématiquement et demandera des outils mathématiques avancé(processus stochastiques et compagnie..).Donc au vu du peu de conditions initiales que tu donnais,je pensais que tu voulais partir sur un modele simple.Si tu veux un modele sophistiqué,ca n est probablement pas de ton niveau(ni meme du mien..) car ca doit demander plusieurs d années d etudes en math fi et en economie pour connaitre et comprendre les "bons" modeles(qui sont si ca se trouve meme pas si bons que ca..)

[ThT12]

Il est néanmoins possible de faire un modèle théorique permettant de répondre à ta question ! Surtout que tu t'intéresse à l'état infini.

Premièrement ne pas oublié que dans l'énoncé que tu as fait tu sous entend une hypothèse : le nombre de pièces dans chaque pays reste similaire.

Sous cette hypothèse tout devient très simple ! Et on peut notamment modéliser une "transaction" comme un échange d'une pièce entre 2 pays. Vu que l'on s'intéresse au temps infini ça correspond à un nombre de transaction infini.

Prenons le cas ou il y a uniquement 2 pays. Un pays part de 60% des pièces de chez lui et l'autre avec 40% et pour simplifier prenons 100 pièces uniquement.
Par exemple soit
Ff0= le nombre de pièce française en france au temps 0 = 60.
Fa0= le nombre de pièce Allemande en france au temps 0= 0.
Af0= le nombre de pièce allemande en france au temps 0 = 0.
Aa0= le nombre de pièce allemande en Allemagne au temps 0 = 40.

Ainsi aprés une transaction on a :

Ff1=59;Fa1=1;Af1=1;Aa1=39

ensuite a chaque transaction on à une chance de donner une piece de son pays ou une pièce étrangère. Avec ça on peut facilement écrire une suite :

Fft+1=Fft+Fat/40-Fft/60

En gros le nombre de piece Française en france à l'instant t+1 est égale au nombre en t plus une piéce que l'on peu recevoir d'allemagne (avec une chance égale à Fat/40) et une piéce que l'on donne au allemand (avec une chance de Fft/60).

Or on sait que Fft+Fat=60 (le nombre total de piece française c'est 60)

donc
Fft+1=Fft+(60-Fft)/40-Fft/60
=Fft(1-1/60-1/40)+60/40
=Fft*2300/2400+60/40

C'est donc une suite classique et on peu montrer facilement qu'elle temps vers 36, soit 60*60%. On se retrouve donc en france avec 60% de pièces française. Et donc avec 40% de pièces allemande. Les allemand on eu 24 pièce française (60% de 40) et 16 pièce allemande (40% de 40).

Il te reste plus qu'a généraliser à 25 pays ;)
ThT12