Statistiques : quantiles

[Cactus]

Bonjour,
Je suis complètement bloquée pour réaliser cet exercice.
Je ne sais quelle formule utilisée dès la question 1 :

On définit la loi L(a,k) (de paramètres a et k tous deux positifs) par sa fonction de répartion : si X ∼ L (k), alors
P(X<x)=1−(a/x)^k pourx>a, x
les variables de loi L (a,k) ne prenant que des valeurs plus grande que a.
1. On s’intéresse aux quantiles de niveau 1−α de la loi L(a,k), qu’on note x1−α. Que vaut x1−α ?

2. Montrer qu’on a x1−α/10 =A·x1−α, où A ne dépend que de k.
3. Calculez les quantiles de niveau 0,9, 0,99, et 0,999 quand a = 1 et k = 3,32.
4. On suppose que la hauteur de la crue annuelle du fleuve Pareto suit une loi L (k), de paramètre k inconnu. On rapporte que :
— tous les 10 ans, on observe une crue qui dépasse 2 mètres (crue décennale) ; — tous les 100 ans, on observe une crue dépasse 8 mètres (crue centennale).
Quelle estimation (grossière) peut-on faire de k ? De a ?
Quelle est la hauteur prédite pour la crue millénaire ? (La hauteur dépassée une fois tous les 1000 ans). 5. Soient X1 ∼L(a1,k1) et X2 ∼L(a2,k2), indépendantes. Quelle est la loi de X=min(X1,X2)?
6. Quelle est la densité de la loi L(a,k)?
7. Calculer son espérance si k > 1. Que se passe-t-il si k 1 ?


Je vous remercie grandement[list=][/list]

[pascal16]

1) c'est pas "trouver a tel que P(X<a)=1−α "?