Statistiques et minimum

[Exponentielle]

Bonjour,

J'ai un problème pour une question.

J'ai une variable aléatoire X de loi exponentielle de paramètre lambda > 0 dont l'expression de la fonction f de densité s'écrit :
f(x) = lambda * e^(-lambda*x) si x >= 0
= 0 sinon

J'ai ensuite un n-échantillon de la variable X, noté (X1,..., Xn) et Y = min(X1,...,Xn)

On demande de montrer que la fonction de répartition notée H, de la variable Y, s'écrit :
H(y) = 1 - e^(-n*lambda*y) si y >= 0
= 0 sinon

Je n'y arrive pas.
Mes pistes :
H(y) = P(Y <= y)
= P[min(X1,...,Xn) <= y]
= 1 - P[min(X1,...,Xn) >= y] en prenant le contraire
= 1 - P[min(X1) >= y]*...*P[min(Xn) >= y] car les Xi sont indépendants
= 1 - P[X >= y]^n
= 1 - (1 - P[X <= y])^n
d'où l'on peut ensuite utiliser la fonction de densité f mais ça me semble trop compliqué pour que ce soit résolu avec le binôme de Newton pour le développement.

Quelqu'un aurait-il une idée ?

Merci beaucoup !

CL

[gibran]

Bah tu l'as déjà ton résultat ... :-)

Je crois que tu as confondu densité et fonction de répartition: celle de la loi expo est de 1-exp(-lambda x t) ...

CQFD :-)

[Exponentielle]

Merci pour la réponse mais je ne vois pas :-)

Comment je peux montrer que la fonction de répartition de Y = Min(X1,...Xn) s'écrit H(y) = 1 - e^(-n*lambda*y) si y >= 0 ?

Je ne vois pas comment passer du Min(X1,...,Xn) à la puissance n dans 1 - e^(-n*lambda*y).

[gibran]

Tu remplaces P[X <= y] par 1-exp(-lambda y t) dans la dernière ligne de ton H(y)

[Exponentielle]

Oups effectivement j'avais confondu fonction de répartition et densité...

Merci !