Statistique Moyenne et Variance

[Dante0]

Bonjour,

Je bloque sur quelques écritures en statistiques.

Pour la variance :

Deux choses que je ne comprends pas ici : pourquoi on a un n² au dénominateur lorsqu'on "sort" 1/n de la variance à la 2e étape.
Et d'ou vient le n au numérateur à l'avant dernière étape ?

Ensuite pour la moyenne de la variance empirique.

On sait que la variance empirique est
On veux montrer que la moyenne de la variance empirique est égale à

Voici les étapes :






D'ou :

La par contre je suis bloqué dès la première étape... :hein:

Merci !

[Dante0]

Up :help: :help:

[Sylviel]

Salut !

pourquoi on a un n² au dénominateur lorsqu'on "sort" 1/n

C'est une propriété de la variance : var(a X) = a²var(X). En effet "la variance est un carré" (reviens à la définition de la variance).

d'ou vient le n au numérateur à l'avant dernière étape

de la somme : tu fais sigma²+sigma²+...+sigma² n fois.

Rq tu ne peux faire Var(X+Y)= Var(X)+Var(Y) que si tu as indépendance.

[Dante0]

Salut !



C'est une propriété de la variance : var(a X) = a²var(X). En effet "la variance est un carré" (reviens à la définition de la variance).



de la somme : tu fais sigma²+sigma²+...+sigma² n fois.

Rq tu ne peux faire Var(X+Y)= Var(X)+Var(Y) que si tu as indépendance.

Merci!
Me reste plus qu'a comprendre la moyenne empirique maintenant ^^

[Sylviel]

j'imagine que alpha est l'espérance de X_i, non ?

la première ligne (un carré est oublié au début) est juste un jeu d'écriture (tu ajoute et retire alpha).
Ensuite tu développe.
Et à la fin tu prends l'espérance de l'égalité et utilise la définition de la variance :
Var(X)= E(X²)-E(X)²

[Dante0]

j'imagine que alpha est l'espérance de X_i, non ?

la première ligne (un carré est oublié au début) est juste un jeu d'écriture (tu ajoute et retire alpha).
Ensuite tu développe.
Et à la fin tu prends l'espérance de l'égalité et utilise la définition de la variance :
Var(X)= E(X²)-E(X)²

On développe comment au juste ici ? Ca ressemble à une identité remarquable mais de loin...

[Sylviel]

oui c'est tout bêtement (A-B)²

[Dante0]

oui c'est tout bêtement (A-B)²

D'ou viens la somme alors ? Et le premier terme ?

[Sylviel]

C'est la définition de la variance empirique. Je ne vois pas vraiment ton problème en fait ?

Si tu veux tu peux écrire la suite d'égalité sans la somme et le 1/n (juste de la réécriture), puis tu ajoutes la somme et le 1/n pour obtenir la définition de la variance empirique, puis tu prends l'espérance pour obtenir le résultat.

[Dante0]

Je ne comprends pas comment on passe de

à

Si on ne fait que développer grâce à l'identité remarquable, d'ou vient la somme au milieu de la 2e expression ? Ou alors on a brulé des étapes ? Parce que je vois vraiment pas comment on passe de l'un à l'autre

[Sylviel]

à

Je disais donc


je prends la somme

ensuite on distribue

Puis on sors les termes constants

[Dante0]

Pour le dernier terme tu fais
(x-a)²+(x-a)²+...+(x-a)² avec n termes, donc cela te donne n*(x-a)² que tu divise par n.

Pour le terme du milieu c'est de la factorisation toute simple :
a x1 + a x2 + ... + a xn = a (x1 + x2 + ... + xn)

Edit : sorry danteo j'ai cliquer sur modifier au lieu de répondre :marteau: :mur:

Sylviel

[Sylviel]

Encore dsl Danteo pour ma boulette. Je refais un message pour que tu voies qu'il y a eu une réponse.

[Dante0]

Encore dsl Danteo pour ma boulette. Je refais un message pour que tu voies qu'il y a eu une réponse.

Pas de problème. :lol3:

Pour le dernier terme tu fais
(x-a)²+(x-a)²+...+(x-a)² avec n termes, donc cela te donne n*(x-a)² que tu divise par n

Ah mais c'est applicable à toutes les sommes du coup non ? Vu qu'on divise par n à chaque fois ..?

Pour le terme du milieu c'est de la factorisation toute simple :
a x1 + a x2 + ... + a xn = a (x1 + x2 + ... + xn)

Je ne saisis pas trop, on factorise quoi exactement pour faire "sortir" l'expression de la somme ? Je ne comprends pas trop l'utilité d'ailleurs, à mon sens c'est pas tellement une simplification. Pourquoi garder sous la somme ?

[Sylviel]

Tu ne vois pas la différence entre
(x-1)+(x-4)+(x-5)+(x-3)
et
(x-1)+(x-1)+(x-1)+(x-1) ?

Et bien c'est la même chose entre

et


Dans un cas les termes sont constants et on peut factoriser dans l'autre ils dépendent de i.

Pour l'autre terme je te conseille d'écrire explicitement ce qui se passe (pou n=3, ou avec des ...) pour comprendre. Je ne peux pas dire plus que ce que j'ai déjà écrit : chaque terme de la somme a un facteur commun (à savoir 2(\bar{X}-\alpha)) que l'on factorise (donc mets devant la somme).

[Dante0]

Compris !
Sinon à la prochaine étape d'ou vient le il est monté au carré, c'est moi qui ait fait un erreur ? (j'ai pas l'impression puisque la suite semble logique)

Ou alors c'est le fait que ? Définition de la moyenne

[Sylviel]

c'est effectivement la définition de la moyenne qu'il faut utiliser :zen:

[Dante0]

c'est effectivement la définition de la moyenne qu'il faut utiliser :zen:

Dernière question :

Pourquoi ici et

Si on dit que alpha c'est l'espérance, normalement la formule de la variance c'est non ?

[Sylviel]

Il y a deux formules (équivalentes) pour la variance.
V(X)= E((X-E(X))²)
et
V(X) = E(X²) - (E(X))²

La première est pratique pour l'intuition et la théorie, l'autre pour les calculs (en général).

[Dante0]

Dacodac !
Merci ! :)