Stabilité

[juve1897]

Bonjour,


je bloque depuis hier sur un exercice où il faut montrer que des ensembles sont stables ou non pour une opération donnée.

Le problème c'est qu'on me donne une définition de la stabilité que je ne comprends pas du tout.


Est ce que qqun pourrait m'expliquer dans un premier temps ce qu'est la stabilité et par la suite comment la démontrer.

Je vous remercie d'avance.

[fahr451]

bonjour

pour moi la stabilité c'est très simple (j'imagine qu'on peut en avoir des versions compliquées)

E un ensemble muni d'une opération T = loi de composition interne
T : ExE -> E (x,y) -> xTY

F une partie de E est stable par T ssi
pour tout x et y dans F: xTy est dans F

[juve1897]

bonjour

pour moi la stabilité c'est très simple (j'imagine qu'on peut en avoir des versions compliquées)

E un ensemble muni d'une opération T = loi de composition interne
T : ExE -> E (x,y) -> xTY

F une partie de E est stable par T ssi
pour tout x et y dans F: xTy est dans F

Bonjour fahr,

te souviens tu du post que j'ai crée hier soir sur la logique (tu sais celui où je demandais la négation d'une proposition) ???

Et ben c'est cette définition là que mon prof a donné de la stabilité.

J'ai pensé démontrer la stabilité par un RA (raisonnement par l'absurde) cad, montrer que la négation est fausse.

Donc si je comprends bien ta definiton, il faut juste montrer que x et y sont en relation avec T ???

[fahr451]

ah non je ne dis pas ça

c'est visiblement autre chose

j' ai été geiné sur ton post de logique

[juve1897]

ah non je ne dis pas ça

c'est visiblement autre chose

j' ai été geiné sur ton post de logique

Je suis désolée fahr mais je n'ai pas bien saisit le sens de ta phrase.

[fahr451]

j'ai eu du mal avec l'implication et je n'ai pas tout lu

[juve1897]

j'ai eu du mal avec l'implication et je n'ai pas tout lu

En faite la definition du prof dit:

Soit E un ensemble, R une relation n-aire sur E (R inclu dans E^n) et E1 un sous ensemble de E.

E1 est dit stable par R ou close par R si:

Pour tous x1,x2, ..., x(n-1), xn € E
x1 € E1 , x2 € E1, ..., x(n-1) € E1
et (x1, ... , xn ) € R
=> xn € E1

Donc moi j'ai pensé que pour démontrer la stabilité, je devais démontrer que la négation de cette définition est fausse. En d'autre termes trouver dans la negation un "x" qui ne marche pas.

Car je dois montrer:

1) N (ensemble des entiers naturels) est stable par addition
intuitivement je sais que c'est vrai mais je vois pas comment le demontrer

2) N n'est pas stable par soustraction
j'ai repondu:
prenons x1 = 2 et x2 = 5 € à N
x1 -x2 = -3 or -3 n'appartient pas à N donc N n'est pas stable par soustraction

3) Z stable par soustraction
c'est comme pour le 1) je sais que c'est vrai mais comment le demontrer pour tous x ???

Ensuite j'en ai pleins d'autre à demontrer, mais j'aimerais deja comprendre comment faire avec des ensembles et des operations simples.

Peux tu m'aider fahr ?

[fahr451]

j'étais sans doute fatigué car là ça me semble limpide

(je pense que certainsl'ont déjà écrit)
ta proposition est

P=>Q la négation est P et non Q

il existe x1,...,dans E1 et xn pas dans E1 tels que (x1,...,xn) dans R

[fahr451]

désolé je ne comprends rien ( c'est sans doute moi ...)

pour moi l'addition n'est pas une relation

mais une loi de composition

donc comment appliquer la définition donnée par ton prof pour les relations ?

tes exemples sont tous des lois de composition interne et la stabilité correspond à ce que je t'ai donné comme définition

[juve1897]

désolé je ne comprends rien ( c'est sans doute moi ...)

pour moi l'addition n'est pas une relation

mais une loi de composition

donc comment appliquer la définition donnée par ton prof pour les relations ?

tes exemples sont tous des lois de composition interne et la stabilité correspond à ce que je t'ai donné comme définition

je suis dans le mm cas que toi, qd je cherche sur le net, je trouve associé à "stabilité" les lois de compositions internes mais aucunement sous forme de relation.

Or il (le prof) nous donne une autre definition que je comprends:

Un ensemble E1 est fermé ou stable pour une opération (ou relation) si, lorsqu'on applique la relation à n'importe quel élément de l'ensemble, le résultat est encore dans l'ensemble

Mais le problème que je rencontre, c'est comment le montrer POUR TOUS LES "x" de cet ensemble ?

[fahr451]

humhum

là c'est la définition que je connais pour les lois

N est stable par + car

pour TOUS x et y entiers naturels x+y est un entier naturel

[juve1897]

humhum

là c'est la définition que je connais pour les lois

N est stable par + car

pour TOUS x et y entiers naturels x+y est un entier naturel

Merci fahr,

c'est ce que je disais plus haut, c'est trivial et intuitif comme reponse, mais moi je cherche un moyen de demontrer justement pour tous les x et y de cet ensemble x+y est un entier naturel.

car je ne crois pas que dire
" N est stable par addition car l'addition dans N est defini N -> N " sois une "preuve"

JE ne sais pas si je m'exprime bien, mais j'aimerais savoir s'il existe une vraie demonstration .

[fahr451]

arg

on revient au déluge (ou à la création) alors

mais le déluge est dans l'autre sens

on construit en premier l'ensemble des entiers naturels (pas simple) N
ensuite ( c'est presque dans la construction)on définit une opération + sur N
qui en fait une loi de composition interne

et donc N est "stable " par + à noter que dans cette phase de déluge il n 'y a pas d'autre ensemble que N , Z est la phase 2, Q la phase 3,R la phase 4,C la 5 et là on s'arrète un jour plus tôt que dans la bible (mais le travail reprendra la semaine suivante)

pour moi la réponse attendue est : la somme de deux entiers naturels est un entier naturel .point

[juve1897]

arg

on revient au déluge (ou à la création) alors

mais le déluge est dans l'autre sens

on construit en premier l'ensemble des entiers naturels (pas simple) N
ensuite ( c'est presque dans la construction)on définit une opération + sur N
qui en fait une loi de composition interne

et donc N est "stable " par + à noter que dans cette phase de déluge il n 'y a pas d'autre ensemble que N , Z est la phase 2, Q la phase 3,R la phase 4,C la 5 et là on s'arrète un jour plus tôt que dans la bible (mais le travail reprendra la semaine suivante)

pour moi la réponse attendue est : la somme de deux entiers naturels est un entier naturel .point

Merci.

Ok ben je noterai ça tout simplement. Car moi je pensais qu'il y' avait surement une preuve derrière tout ça. Dire que c'est trivial ne représentait pas pour moi une réponse recevable.

Donc pour la 3) je peux donc dire que la soustraction de 2 nombre negatif donne un nombre negatif.

Est ce que ça te derangerais de me corriger les autres exemples ?

[fahr451]

N et la soustraction ok
c'est d'ailleurs pour ça qu'on construit Z

(symétrisé du semi groupe N)

[juve1897]

N et la soustraction ok
c'est d'ailleurs pour ça qu'on construit Z

(symétrisé du semi groupe N)

Merci fahr. :happy2:

Est ce que tu pourrais me corriger ces qq exemples de plus ?


1) l'ensemble des intervalles de N pour l'intersection:
N = [0,+OO[ donc notons I1 et I2 deux sous ensemble de N representant des intervalles

l'intersection de ces 2 intervalles ne peut etre qu'un intervalle de nombre entier.

2) l'ensemble des intervalles de N pour l'union:
idem que pour 1)

3) l'ensemble des entiers impairs pour la multipication:
alors là je ne vois pas du tout comment faire, si je prends qq exemple je vois bien que c'est stable.

4) l'ensemble des entiers négatifs pour la soustraction (dans Z):
La question me parait un peu ambigue, je ne sais pas si il faut montrer que soustraire 2 entiers negatifs donne :
a) un nombre negatif
ou bien
b) un nombre appartenant à Z

Si c'est a) qu'il faut vérifier ben l'ensemble n'est pas stable, car prenons
x= -4 et y=-64 x-y = 60 or 60 appartient à N donc n'est pas un entier negatif
la stabilité est vrai que dans le cas où x >= y

Si c'est b) donc l'ensemble est stable car la soustraction de 2 entiers negatifs donne forcement un entier donc € Z

5) l'ensemble des entiers négatifs pour la multiplication:
Il n'y a pas stabilité, prenons x = -4 et y =-1 x*y = 4 or 4 n'est pas un entier negatif
de plus la multiplication de 2 entiers negatifs donne toujours un entier positif

Merci.

PS: on me demande de donner une clôture pour les exemples ou la stabilité n'est pas verifié.
Cad que je dois donner l'ensemble ou la stabilité est vraie ???

[fahr451]

1)2)ok
c'est 4a) pas stabilité ok mais tu ne pas dire stabilité ssi x>=y c'est stable ou bien pas stable point
3) comment sécrit un entier impair quelconque? effectue le produit

5)

il faut trouver le PLUS PETIT ensemble stable contenant l'ensemble initial ,

[juve1897]

1)2)ok
c'est 4a) pas stabilité ok mais tu ne pas dire stabilité ssi x>=y c'est stable ou bien pas stable point
3) comment sécrit un entier impair quelconque? effectue le produit

5)

il faut trouver le PLUS PETIT ensemble stable contenant l'ensemble initial ,

Merci fahr pour ta correction

[juve1897]

1)2)ok
c'est 4a) pas stabilité ok mais tu ne pas dire stabilité ssi x>=y c'est stable ou bien pas stable point
3) comment sécrit un entier impair quelconque? effectue le produit

5)

il faut trouver le PLUS PETIT ensemble stable contenant l'ensemble initial ,

Bonsoir,

j'ai une idée pour la 5)

posons
a= 2n+1
b= 2m+1 deux entiers impairs quelconque,

a * b = (2n+1)(2m+1) = 4mn + 2n +2m +1 = 2(2mn + n + m) + 1

posons n'= 2mn + n + m

on a donc (2n+1) (2m+1) = 2n' +1 qui est la définition d'un entier impair

On peut donc conclure que les entiers impairs sont stable par multiplication.

Est ce que ce raisonnement est juste ?
MErci

[fahr451]

oui c'est ça