Stabilité et points singuliers

[nalia]

bonsoir,

on nous demande d'etudier le systeme
dx/dt=-y-x*(x^2+y^2)
dy/dt=x-y*(x^2+y^2)


pour cela je pose un changement de variable: x=r*cos(w)

puis je calcule
rdr=x*dx+y*dy
ensuite
dw=(dw/ dx)*dx +( dw/ dy)*dy
( ici ce sont les derivées partielles )
je ne c'est pas ci ce que je fait est juste et si c'est la bonne méthode!! pouvez vous m'aider s'il vous plait
merci

[khivapia]

Ca me paraît juste mais un peu compliqué : pourquoi ne pas exprimer dx/dt = dr/dt cos(w) -r dw/dt sin(w) et remplacer dans tes deux équations ?

En revanche, je ne suis pas sûr que ça simplifie les choses au final.

[cesar]

bonsoir,

on nous demande d'etudier le systeme
dx/dt=-y-x*(x^2+y^2)
dy/dt=x-y*(x^2+y^2)


pour cela je pose un changement de variable: x=r*cos(w)

puis je calcule
rdr=x*dx+y*dy
ensuite
dw=(dw/ dx)*dx +( dw/ dy)*dy
( ici ce sont les derivées partielles )

bonjour,
l'idée ne me semble pas mauvaise, car

r dr/dt = (xdx+ydy)/dt = -xy - x^2(x^2+y^2) + xy - y^2(x^2+y^2)
=-(x^2+y^2)^2 = r^4
donc premiere solution r=0 soit x=y =0
et
r^3 =dr/dt ce qui peut se resoudre facilement en fonction de t
en r = racine(1/(2t+k)), avec K constante d'integration.
reste à calculer w en fonction de t.
avec
dw/dt=-sin(w)/r dx/dt + cos(w)/r dy/dt

ce qui donne : dw/dt = sin(w)^2+cos(w)^2=...1 !!!
soit w = t+ cte

[thomasg]

Bonjour,

la solution proposée ci-dessous est à prendre avec précaution (c'est la 2ème fois en 6 ans que je traite une équa diff, et c'est la première fois que je traite un système non linéaire)

Mon idée a été la suivante: appliquer la même méthode que celle suggérée dans la première question que tu as posée, c'est à dire utiliser les nombres complexes.

en posant z=x+iy on obtient les équations suivantes (chacune d'elle est équivalente au système proposé)

z'=-y-x(x^2+y^2)+i(x-y(x^2+y^2))
z'=-y-x|z|^2+i(x-y|z|^2)
z'=ix-y-(x+iy)|z|^2
z'=iz-z|z|^2
z'=z(i-|z|^2)
z'/z=i-|z|^2 (z ne s'annule pas car dans ce cas la solution serait la fonction nulle)
(lnz)'=i-|z|^2

ici nous posons z=r*exp(iw), l'équation ci-dessus se réecrit alors
(lnr+iw)'=i-r^2

Donc en identifiant les parties réelles et imagnaires entre elles nous obtenons
w'=1 donc w(t)=t+c1 (c1 est une constante)
et
(lnr)'=-r^2
r'/r=-r^2
r'=-r^3 dont r(t)=-t^4/4+c2 (c2 est une constante)

la solution est donc de la forme (-t^4/4+c2)*exp(i(t+c1))

En repassant dans R^2 on obtient donc
x(t)=(-t^4/4+c2)cos(t+c1)
y(t)=(-t^4/4+c2)sin(t+c1)


Je remercierai grandement la personne qui accepterai de lire ce que j'ai écrit ci-dessus pour me dire si c'est bon. (Cesar, Quinto, Alpha, Patapoof ou d'autres).

Au revoir.

[cesar]

r'=-r^3 dont r(t)=-t^4/4+c2 (c2 est une constante)

la solution est donc de la forme (-t^4/4+c2)*exp(i(t+c1))

comment tu passes de r'=r^3 à r(t)=-t^4/4+c2 ?

pour moi : dr/r^3=dt ===> -1/2*1/r^2=t + c2 ,


ce qui est assez different...


sinon, sur le principe : ta methode est équivalente à celle que propose Nalia et que j'ai étudié. Elle doit obligatoirement nous mener au même resultat. Par contre, le formalisme des complexes est plus leger permet moins de calculs et surtout diminue les risques d'erreurs (à condition de bien connaitre les complexes evidement....) : c'est donc ta methode qu'il vaut mieux utiliser, de preference à celle que j'ai pris.

[thomasg]

Merci à Cesar d'avoir relu.

C'est parce que la résolution d'équation que j'ai proposée est fausse.

je reprends donc la rédaction détaillée de l'équation de Bernouilly r'(t)=-r(t)^3
on obtient les équations équivalentes suivantes
-r'(t)/r(t)^3=1 (on suppose que la solution ne s'annule pas)
En posant R(t)=1/r(t)^2 on obtient
R'(t)/2=1
R'(t)=2
R(t)=2t+c2 (où c2 est une constante)
En revenant à une expression en r(t) on a alors
1/r(t)^2=2t+c2
r(t)^2=1/(2t+c2)
r(t)=(2t+c2)^-1/2

J'espère que cette fois c'est bon.

(Remarque: pour ma part j'ai du mal à manipuler les notations que tu utilise avec les dt notamment)

Au revoir, à bientôt.

[cesar]

j'ai corrigé une petite erreur d'inattention chez moi et desormais, on trouve pareil.

[thomasg]

eh bien voilà, à deux on y est enfin arrivés.

A bientôt.