Stabilité et point fixe

[MacManus]

Bonjour

On considère (de manière générale) une transformation affine f de telle qu'il existe tel que ait un point fixe A.

Soit

1. Montrer que l'ensemble E est (globalement) stable par f.

Il faut montrer que OK!
(que veut dire globalement exactement ?)

2. En déduire que f a un point fixe.

Quelqu'un peut-il m'aider pour cette dernière question?

merci beaucoup

[leon1789]

(que veut dire globalement exactement ?)

ca veut dire que f(E) est inclus dans (ou égal à) E : on parle de E globalement, et non pas point par point f(x) = x.

2. En déduire que f a un point fixe.

tu prends points du plan, tu les fais "tourner" sur eux-mêmes : il y a un autre point du plan qui lui n'a pas bougé. Lequel ?

[leon1789]

mon indication n'est pas terrible... :hum:

[MacManus]

Merci léon1789

je comprend intuitivement ton explication. On "s'aperçoit" que le point A est invariant par f. Mais je ne parviens pas à montrer clairement (mathématiquement) que tel est le cas !

[sclormu]

Merci léon1789

je comprend intuitivement ton explication. On "s'aperçoit" que le point A est invariant par f. Mais je ne parviens pas à montrer clairement (mathématiquement) que tel est le cas !

C'est pas vraiment A qui ne bouge pas....

[MacManus]

Ah je crois comprendre un peu plus. Comme f est affine, elle préserve le barycentre. Donc si G est le barycentre de l'ensemble E, f(G) est le barycentre de f(E), cad dire f(G) barycentre de E lui-même puisque E stable par f. Donc G = f(G). le barycentre G est un point invariant par f. On peut dire ça ??

[sclormu]

Ah je crois comprendre un peu plus. Comme f est affine, elle préserve le barycentre. Donc si G est le barycentre de l'ensemble E, f(G) est le barycentre de f(E), cad dire f(G) barycentre de E lui-même puisque E stable par f. Donc G = f(G). le barycentre G est un point invariant par f. On peut dire ça ??

Clairement. Ceci dit il te faudra montrer que f(E)=E et pas seulement l'inclusion. Ceci dit, c'est trivial.

[MacManus]

eh bien on a montré que E est stable par f, cad f(E) inclu dans E. Clairement E est inclu dans f(E). Donc f(E) = E. Cependant comment montrer que f préserve le barycentre G pour l'ensemble E ?? il suffit juste de dire que f(E)=E ou il faut le démontrer ? Si c'est le cas je veux bien de l'aide.

merci à vous

[sclormu]

eh bien on a montré que E est stable par f, cad f(E) inclu dans E. Clairement E est inclu dans f(E). Donc f(E) = E. Cependant comment montrer que f préserve le barycentre G pour l'ensemble E ?? il suffit juste de dire que f(E)=E ou il faut le démontrer ? Si c'est le cas je veux bien de l'aide.

merci à vous

Pose

et étudie f(x) (évidemment, il faut savoir ce qu'est une application affine.)