Sphères et identités remarquables

[mathelot]

Bonjour,

j'ai pensé au truc suivant, est-ce que je redécouvre la bicyclette
voire la machine à vapeur :zen: ?

intro
le cercle a pour équation . localement,
un arc de cercle, suffisamment petit pour ne pas se refermer, est (topologiquement) un segment.
Le cercle est donc une variété de dimension 1, noté

représente la sphère habituelle



Sur wiki, il y a quatre identités remarquables, utilisées pour les entiers
mais valables pour les réels, ou dans tout anneau commutatif

Diophante


on voit qu'une telle identité permet de définir une application de
vers

Lagrange


une telle identité permet de définir une application de
vers

Euler


avec





une telle identité permet de définir une application de

[Ben314]

Pour S^1, je te rapelle que c'est un sous groupe de (C,x) et que ton application est... le produit dans ce sous groupe.
Pour S^3, tu as peut être vu qu'il existe une structure de corps (non comutatif) sur R^4 (les quaternions) et que S^3 est... un sous groupe du groupe multiplicatif des quaternion, ce qui explique assez bien qu'on ait un produit (non commutatif) sur S^3
Pour S^2, on peut montrer qu'il n'y a pas de structure de corps "naturelle" sur R^3 donc pas d'application bien définie, mais on peut voir S^3 comme une partie des quaternions "purs" et le faire agir sur les quaternions....

En résumé, tu n'as pas découvert la poudre, mais retrouvé des résultats et questions trés interressantes....

[mathelot]

Pour S^1, je te rapelle que c'est un sous groupe de (C,x) et que ton application est... le produit dans ce sous groupe.

ah bah oui, c'est la mutiplication entre nombres complexes
et la composée de deux rotations.

Pour , tu as peut être vu qu'il existe une structure de corps (non comutatif) sur R^4 (les quaternions) et que S^3 est... un sous groupe du groupe multiplicatif des quaternion, ce qui explique assez bien qu'on ait un produit (non commutatif) sur S^3

donc c'est l'identité d'Euler qui correspond à une multiplication entre deux
quaternions de norme 1.

reste l'identité de Lagrange, la plus attractive !

Pour , on peut montrer qu'il n'y a pas de structure de corps "naturelle" sur R^3 donc pas d'application bien définie, mais on peut voir S^3 comme une partie des quaternions "purs" et la faire agir sur les quaternions....

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Lagrange


l'application de vers
ça correspond à quoi ? elle est-elle surjective ?
il y a un produit scalaire et trois déterminants


Pour celle là, à gauche j'ai un couple de sphères
(en coordonnées sphériques) dont le point courant , vérifiant,
et
est envoyé vers

[Ben314]

donc c'est l'identité d'Euler qui correspond à une multiplication entre deux
quaternions de norme 1.

Tout à fait (tu as vu les quaternions ?)

Pour la dernière question (le S²xS² dans S^3), je sais que c'est du "super classique" dans le p.b. de géométrie différentielle et plus particulièrement les "groupes de lie" mais je me rapelle plus par coeur tout les résultat ni l'interprétation géométrique/algébrique que ca a...
De mémoire, tu commence par associer à x=(x1,x2,x3) de R^3 (non nul) le quaternion "pur" q=x1i+x2j+x3k puis tu regarde l'automorphisme (dit "intérieur") sur l'ensemble des quaternion : (rappel : les quaternions ne sont pas commutatifs) et tu étudie "propre" l'application ....

P.S. dans les quaternions, si q=x+z et q'=x'+z' avec x,x' dans R et z,z' quaternions "purs", dans le produit qq', il apparait le produit scalaire ET le produit vectoriel de z et z' (vus comme éléments de R^3)
En résumé, les quaternions permettent de "relier" pas mal de choses concernant R^3....

P.S.2 si tu ne connait pas les quaternions, je peut te donner la définition et tu cherchra à montrer que.... c'est trés joli....

[mathelot]

bon, j'y vois un peu plus clair..

si je résume tes explications (fort intéressantes)
- il n'y a pas de structure de groupe sur d'ailleurs , je crois me souvenir que ce sont et qui ont une structure de groupe
- est ce que tu sais si l'application (issue de l'identité de Lagrange) est:
- surjective
- si c'est un revêtement de
comment sont fichues les fibres ou tout au moins l'image réciproque
d'un point de
- si c'est son revêtement universel (surface de Riemann)

sinon, je connais (un peu) les quaternions..pour répondre à ta question

[mathelot]

re,

ce que je peux faire aussi (en bricolant) c'est "épointer" les sphères
pour obtenir, par projection stéréographique, une application naturelle
de vers

tu pourais pas me dire si l'application (issue de Lagrange) vers est surjective ?

[Ben314]

Honètement, je ne me rapelle plus quelles sont les réponses... par contre je me rappelle trés bien que ces questions font parties DES questions interessantes concernant le sujet. (pour ce qui est de la structure de groupe de S^7, elle correspond.... aux octonions...)

Il me semble que l'identité de Lagrange correspond au produit de 2 quaternions purs (prod.scalaire d'un coté, prod.vectoriel de l'autre) et donc que c'est un cas particulier de celle d'Euler qui correspond au produit de deux quaternions quelconques.

Vu sous cet angle (fonction [2 quaternions purs]->[leur produit]), il me parrait assez clair que ca doit être surjectif, ce n'est surement pas un revètement dans le sens que les dimension des deux variétées sont différentes (2x2 n'est pas égal à... 3)
Mais il me semble que c'est un exemple assez joli où les fibres sont toutes homéomorphes à S^1 alors que S²xS² n'est pas homéomorphe à S^1xS^3 (car pas le même groupe fondamental).

Tu constate que
1) Il y a un max de truc à dire concernant tout cela.
2) Je ne me rapelle plus "par coeur" de tout les résultats....

P.S. il me semble que les projection stéréographiques interviennent peu ici car elle induisent une disymétrie "artificielle" des sphères (le choix d'un pole nord....)

[mathelot]

Il me semble que l'identité de Lagrange correspond au produit de 2 quaternions purs (prod.scalaire d'un coté, prod.vectoriel de l'autre) et donc que c'est un cas particulier de celle d'Euler qui correspond au produit de deux quaternions quelconques.

oui, avec

Vu sous cet angle (fonction [2 quaternions purs]->[leur produit]), il me parrait assez clair que ca doit être surjectif

oui, bien que le système d'équations à résoudre n'a pas l'air simple.
il faut donc passer par l'écriture "algèbre théorie des groupes" avec de la conjugaison

Mais il me semble que c'est un exemple assez joli où les fibres sont toutes homéomorphes à S^1 alors que S²xS² n'est pas homéomorphe à S^1xS^3 (car pas le même groupe fondamental).

oui, un fibré non trivialisable , en quelque sorte

merci beaucoup.

[Ben314]

Tout à fait.
De plus, je confirme que les fibre sont homéomorphes à S^1 :
si z=t+z' est un quaternion quelconque de module 1 (avec t réel et z' pur)
alors l'équations xy=z (avec x,y purs de module 1) revient à

qui doit être pur.
Comme l'est, il faut et il suffit que le soit et cela signifie que, (si on regarde les quaternion purs comme vivant dans R^3) x et z' sont orthogonaux.
Il faut donc que x soit dans S^2 et orthogonal à z' => homéomorphe à S^1 (le y est une fonction on ne peut plus continue du x...)

P.S. il semblerait qu'il y ait un P.B. si z=+-1 c'est à dire z'=0...
P.S.2. c'est un peu con de ma part d'écrire car, comme est pur, ...

[Ben314]

Si ça t'interesse de voir à quoi me faisait penser ces questions, tu peut regarder là :
http://www-irma.u-strasbg.fr/~maudin/courstopalg.pdf
Exercices II.37 puis V.3 , VI.8 et aussi le IV.20...

P.S. j'aime beaucoup michèle Audin et encore plus.... depuis qu'elle à refusée la légion d'honneur....

[mathelot]

Si ça t'interesse de voir à quoi me faisait penser ces questions, tu peut regarder là :
http://www-irma.u-strasbg.fr/~maudin/courstopalg.pdf
Exercices II.37 puis V.3 , VI.8 et aussi le IV.20...

c'est pas mal ton cours. on retiendra deux idées

- les composantes connexes d'un revêtement correspondent aux sous groupes
du . c'est assez intuitif dans la mesure où c'est impossible de concaténer des lacets dont les supports ne sont pas dans la même composante connexe.

- l'idée de travailler avec les automorphismes du revêtement plutot qu'avec le groupe fondamental de la base