Sphère de Riemann

[ayoubJhabli]

Salut j'ai en exercice concernant la Sphère de Riemann, je ne comprends pas beaucoup comment je peux résoudre ce type d'exercice, donc n'importe quelle explication ou indication sera utile. Merci

On note P la droite projective complexe, c’est à dire l’union de C et d’un point dit "à l’infini".
1)-Montrer que toute homographie (où a; b; c; d sont 4 complexes tels que ad-bc 0) se prolonge naturellement en une bijection de .
2)-Expliciter une bijection entre P et la sphère usuelle . Déterminer l’image dans S d’un cercle de P.
3)-Expliciter une bijection entre S et l’ensemble des droites vectorielles du plan complexe . Soit .
4)-Montrer que M induit une bijection de P (l’expliciter en fonction des coefficients de A).

[lyceen95]

Pour la question 1.
On nous parle d'une bijection. Une bijection, c'est quoi ? C'est une fonction qui a 2 ou 3 propriétés en plus.
Ici, Si on travaille de C vers C, f(x) est définie pour tout x, sauf pour x =-d/c. On nous propose un point M situé à l'infini. On va donc prolonger f en disant f(-d/c)= M
L'application f(x) est donc définie pour tout point de C. Pour l'instant, on n'a toujours pas défini f(M), M étant ce point situé à l'infini.
Pour avoir une bijection, il faut que chaque élément de P ait un antécédent unique dans P.
Soit y un élément de P.
L'équation f(x) = ax donne quoi ?
On résoud cette équation, on va voir que pour tout élément y, cette équation a un antécédent unique. Sauf pour une valeur précise y0. On va donc définir f(M) = y0
Et voilà on prolongé 'naturellement' f pour avoir une bijection de P vers P.

Je le redis en un peu plus court :
f est définie sur C moins un seul élément -d/c
L'équation f(x) = y admet une seule solution x pour tout complexe c, sauf pour une valeur y bien précise : y0 que tu dois pouvoir trouver.
On peut alors facilement démontrer que f est une bijection de C privé de ce point -d/c vers C privé du point y0.
En définissant f(-d/c) = M et f(M) = y0, on a un prolongement 'naturel' de f, et la fonction obtenue est une bijection de P vers P.

[ayoubJhabli]

Merci, la 1ere question parait est qu'une simple bijection mais en ajoutant l'infini comme élément.
La 2eme question c'est u,v,w appartiennent à R3 non pas C.

[GaBuZoMeu]

Est-ce que la projection stéréographique de la sphère sur le plan te dit quelque chose ? Ou alors, l'inversion par rapport à une sphère dans l'espace ?

[ayoubJhabli]

Salut, je peux comprendre ceci géométriquement une sphère de l'espace avec N le sommet ou bien le nord on peut projeté n'importe quel point de la sphère sur le plan sauf N mais comment relier ceci à l'exercice?

[ayoubJhabli]

On projette par des droites passantes par N et coupent la sphère en un seul point.

[GaBuZoMeu]

Tu ne vois pas comment relier la projection stéréographique à la question 2 qui te demande de décrire une bijection entre la sphère et le plan de la variable complexe auquel on a ajouté un point "infini" ?

[ayoubJhabli]

Oui, en d'autres termes est-ce-que trouver la relation entre les coordonnées du point projeté et sa projection suffit pour déduire une bijection?

[GaBuZoMeu]

Si tu as la transformation dans un sens, la transformation dans l'autre sens et que tu as montré que ces transformations sont inverses l'une de l'autre.

[ayoubJhabli]

Je commence à comprendre un petit peu les choses maintenant, merci pour votre temps