Sphère de Riemann

[mehdi-128]

Bonjour,

Soit E un K espace vectoriel. L'espace projectif déduit de E et noté P(E) est l'ensemble des droites vectorielles de E.
En d'autres termes P(E) est l'espace quotient de E/{0} avec la relation d'équivalence : xRy si il existe a appartenant à K* tel que : y = ax
Jusque là tout va bien.

Voici l'exemple :

es.png (27.61 Kio) Vu 677 fois

On projette les points de la sphère sur le plan et on voit qu'ils ont tous une image sauf le point au pôle qui coupe le plan à l'infini dans la direction du plan.
L'image de la sphère sur le plan est donc l'espace tout entier C plus le point à l'infini.

Maintenant j'ai une question c'est quoi le rapport entre la construction géométrique du projeté et la formule en haut qui dit que l'espace projectif est l'ensemble des droites vectorielles de C ici ?

[Robot]

Maintenant j'ai une question c'est quoi le rapport entre la construction géométrique du projeté et la formule en haut qui dit que l'espace projectif est l'ensemble des droites vectorielles de C ici ?

Tu interprètes de travers ce que tu as lu. La droite projective complexe est l'ensemble des droites vectorielles de , ou encore c'est quotienté par la relation d'équivalence que tu as mentionnée. La sphère de Riemann est un modèle de la droite projective complexe.

La droite projective complexe (espace projectif déduit de ) s'identifie à la réunion de (la droite complexe) avec (on ajoute un point à l'infini à la droite complexe). J'explicite une bijection entre et :
La classe de est envoyée sur le nombre complexe si et sur si .
Je te laisse vérifier que c'est bien une bijection.

Ensuite, la projection stéréographique inverse réalise bien une bijection de sur la sphère (avec envoyé au pôle nord).

[mathelot]

Quel est le rapport entre la construction géométrique du projeté et la formule en haut qui dit que l'espace projectif est l'ensemble des droites vectorielles de C ici ?

La projection stéréographique ne passe pas au quotient,ie,
xRy n'implique pas p(x)=p(y)

[Robot]

@mathelot, tu parles du quotient de la sphère par quoi ?

[mathelot]

xRy si il existe a appartenant à K* tel que : y = ax

[Robot]

Si et sont dans la sphère c'est juste . Mais qui parle de quotienter la sphère par l'involution antipodale ?
Je ne comprends vraiment pas le sens de ton intervention.