[L1] Sphère contenant deux cercles

[benekire2]

Bonsoir, hier je faisais un peu de géométrie dans l'espace et voici le problème sur lequel je suis tombé :

Montrer qu'il n'existe qu'une seule shpère S contenant les cercles C1 et C2 d'équation :

C1: x=1 et y²+z²-4y=0 et C2: z=1 et x²+y²-2x-4y+2=0

Alors la correction nous dit que on pose S: (x-a)²+(x-b)²+(x-c)²=R^2 (sphère centre (a,b,c) rayon R) Ils remplacent ensuite etc. La méthode "standard" j'ai l'impression.

Je voudrais savoir si mon raisonnement est juste, parce que je le trouve très (trop) simple ( mais ça a tout l'air de fonctionner) :

Le centre de la sphère se trouve sur la droite perpendiculaire au centre de chaque cercle. Après avoir trouver l'équation des deux droites, on cherche leur intersection.

Bien sûr il faut prouver que le centre de la sphère se trouve sur la droite perpendiculaire aux plans contenants les cercles et passant par le centre du cercle :

Il ne passe qu'un cercle par trois points. Prenons A,B,C (distincts) sur C1 Par définition le centre de la sphère se trouve sur les plans médiateurs de [AB] et [AC]. On vérifie sans peine que ces plans ne sont pas parallèles. Ils se coupent selon une droite dirigée par le produit vectoriel des vecteurs normaux à ces plans i.e la droite d'intersection est perpendiculaire à (ABC). De plus le centre du cercle appartient de manière évidente à cette droite, c'est donc prouvé.

Voilà, merci :++:

[Ben314]

C'est tout à fait O.K.

[benekire2]

Tant mieux :zen: merci bien.