Spectre et matrice

[jonses]

Bonjour,

J'essaye de faire un exercice que j'avais déjà commencé il y a longtemps (enfin 1 semaine ou 2 plutôt).
Je suis arrivé à une question intermédiaire sur laquelle je suis resté bloqué, et je pensais qu'avec le temps je trouverais la solution. Finalement, je suis toujours incapable de trouver le résultat, je ne fais que tourner en rond. Du coup, j'aurai bien besoin d'une petite indication svp :jap:


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Soient et soit l'endomorphisme de tel que

pour toute matrice :


Soit une valeur propre de et un vecteur propre de associé à la valeur propre

J'ai montré que

Je dois en déduire qu'il existe une valeur propre de A et une valeur propre de B tels que :

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J'ai essayé d'utiliser le fait que N est un vecteur propre de f, mais je retombe à chaque fois sur le résultat que j'ai déjà montré :

J'ai aussi pensé à utiliser les polynômes annulateurs, mais je ne vois pas comment aboutir avec....


Si quelqu'un peut m'aider svp
Je vous remercie d'avance pour vos réponses

[Ben314]

Salut,
Si tu prend pour le polynôme caractéristique de alors (matrice nulle) donc ce qui, vu que n'est pas la matrice nulle (c'est un vecteur propre associé à...) montre que n'est pas inversible.

Or où les sont les valeurs propres de comptées avec leur ordre de multiplicité (au signe prés suivant les conventions)
Donc et tu sait que ce produit est non inversible donc un (au moins) des facteurs est non inversible...

[jonses]

Salut,
Si tu prend pour le polynôme caractéristique de alors (matrice nulle)

Et voilà, encore une fois je pense à plein de trucs, mais jamais à la bonne chose :mur: : j'ai totalement zappé le théorème de Cayley-Hamilton, et je faisais que penser au polynôme minimal, et évidemment j'oubliais que j'étais dans C[X] (tous les polynômes sont scindés, c'était essentiel à mon avis) !
(il faut vraiment que je fasse attention à ma rigueur et ma concentration qui sont pas terribles)

Sinon pour la suite, j'ai bien compris comment ça marche

Merci beaucoup !!

[Ben314]

De toute façon, tu prenait le polynôme minimal à la place du polynôme caractéristique, ça changeais rien à la preuve.

Après, effectivement, dans R, tel quel, ça risque d'être faux vu pris qu'il risque d'y avoir des valeurs propres non réelles a et b de A et B (donc ce ne sont pas des valeurs propres réelles) mais avec quand même a-b réel (donc ça sera une valeur propre réelle de ton bidule)