Spectre d'un endomorphisme

[Lutinette18]

Bonjour,

Un exemple d'endomorphisme qui admet un spectre infini est la dérivation dans l'espace des fonctions indéfiniment dérivables. Pour tout lambda réel,
x -> e^(lambda*x) est le vecteur propre associé.
Je ne vois pas comment rédiger rigoureusement ce résultat.
Pourriez-vous me donner une indication?

Merci

[SimonB]

Soit . Soit D l'opérateur de dérivation ; D est linéaire, et , ce qui est exactement la définition d'un vecteur propre pour la valeur propre ...
(Cela dit, tu n'as pas le droit de parler du vecteur propre associé : il peut y en avoir plusieurs...)

[Lutinette18]

puisqu'un vecteur propre se mettait sous la forme d'une application, alors j'ai cru qu'on pouvait écrire "du"...
d'ailleurs d'habitude on dit par exemple que 2x est un vecteur propre associé; on peut donc écrire x-> 2x à la place? Cette écriture m'a assez étonné d'ailleurs (c'est un exemple que j'ai trouvé dans le méthodix).

Je crois ne pas bien avoir saisi la nuance.
Merci encore

[SimonB]

puisqu'un vecteur propre se mettait sous la forme d'une application, alors j'ai cru qu'on pouvait écrire "du"...
d'ailleurs d'habitude on dit par exemple que 2x est un vecteur propre associé; on peut donc écrire x-> 2x à la place? Cette écriture m'a assez étonné d'ailleurs (c'est un exemple que j'ai trouvé dans le méthodix).

Je crois ne pas bien avoir saisi la nuance.

Les vecteurs, ce sont les éléments de ton espace vectoriel ! Ici, les applications, c'est pour ça qu'on les écrit comme ça. T'aurais un espace vectoriel constitué de vaches, le vecteur propre serait une vache. Ici, une application.

Ce que je te reproche, c'est que tu dis "x -> e^(lambda*x) est le vecteur propre associé. ". Ecrire "le" suppose que ce vecteur propre est unique. Or, c'est faux en toute généralité !

[Joker62]

Une vache en vecteur propre ? :D
Fallait oser lol :p