Sous-groupes de (IR,+)

par **legeniedesalpages** » 26 Déc 2007, 22:54

Bonsoir,

je voulais savoir si il y a d'autres sous-groupes additifs denses dans

autres que

et

, et si c'est le cas, lesquels?

Merci pour vos réponses.

par **legeniedesalpages** » 26 Déc 2007, 22:59

En fait je ne vois même pas quoi faire pour les chercher. :triste:

par **barbu23** » 26 Déc 2007, 23:05

Les corps des nombres

-adique ! je ne sais pas s'ils sont denses dans

ou dans

...

par **ThSQ** » 26 Déc 2007, 23:05

et les exemples construits de manière similaire.

Je crois pas qu'on sache les décrire à part dire qu'ils sont pas de la forme

par **legeniedesalpages** » 26 Déc 2007, 23:08

ThSQ a écrit: et les exemples construits de manière similaires.

ah oui ça me rappelle un vieux résultat que j'avais fait dans je sais plus quel exo:

est un sous-groupe additif dense dans IR si et seulement si x/y est irrationnel c'est bien ça?

Le corps des nombres p-adiques est un sous-groupe de IR?

par **legeniedesalpages** » 26 Déc 2007, 23:13

ok,

mais je m'imaginais pas que

,

il faudra que je regarde un peu plus ces nombres p-adiques.

:marteau:

par **yos** » 26 Déc 2007, 23:15

Pas les p-adiques :

.

par **legeniedesalpages** » 26 Déc 2007, 23:17

yos a écrit:
Pas les p-adiques : .

ah ok.

et à part les xZ+yZ avec x/y irrationnel, on en connait d'autres?

par **barbu23** » 26 Déc 2007, 23:26

yos a écrit:
Pas les p-adiques : .

Yos , peux tu nous parler un peu des nombres p - adiques ? et pourquoi

( c'est un peu bizarre ce que tu dis ) !! je connais que quelques rudiments sur ce sujet là d'après wikipedia !
Merci d'avance !!

par **yos** » 26 Déc 2007, 23:33

barbu23 a écrit: pourquoi ( c'est un peu bizarre ce que tu dis )

Ben c'est pas bizarre, c'est comme ça.

peut être défini de diverses façons : la plus courante : c'est le complété de Q pour la topologie définie par la valeur absolue p-adique :

.
Aucun rapport avec R. D'ailleurs un nombre p-adique s'écrit

où

. Cette série converge pour la topologie susdite. Avec la topologie de R, j'ai des doutes...

par **legeniedesalpages** » 26 Déc 2007, 23:34

oui moi aussi, je l'ai pas trouvé très clair l'article de wiki.

par **leon1789** » 27 Déc 2007, 00:29

yos a écrit:Ben c'est pas bizarre, c'est comme ça.
peut être défini de diverses façons : la plus courante : c'est le complété de Q pour la topologie définie par la valeur absolue p-adique :
.
...

Je suis d'accord avec yos.
Les éléments de

sont les séries formelles

où

et ceux de

(corps des fractions de

) sont les séries formelles

.

Pour p premier, dans

(et donc

a fortiori), 1-p est un carré (pensez au DL en 0 de

). Dans R, c'est faux puisque 1-p < 0

par **yos** » 27 Déc 2007, 09:49

J'ai corrigé mon précédent message : la somme va de

à l'infini pour un élément de

, comme l'a écrit Léon1789.

par **legeniedesalpages** » 27 Déc 2007, 09:59

ok, ça veut dire que pour un nombre p-adique, on a un nombre fini de "chiffres" à droite de la virgule, et on peut en avoir une infinité à gauche de la virgule. C'est bien ça?

par **yos** » 27 Déc 2007, 12:27

il y a de ça. On n'utilise pas cette écriture cependant.

par **legeniedesalpages** » 27 Déc 2007, 12:33

d'accord, je trouve cette structure vraiment exotique.

En quoi on trouve son utilité principalement? On l'étudie dans quel contexte?

par **yos** » 27 Déc 2007, 13:14

En théorie des nombres : résoudre une équation diophantienne dans Q se ramène à la résoudre dans tous les

et dans R (principe de Hasse). R et les

jouent le même rôle de ce point de vue.

par **legeniedesalpages** » 27 Déc 2007, 13:39

D'accord, merci pour ces informations yos :)

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