[MPSI] Sous groupe engendré

[Euler07]

Bonsoir,

J'aimerais comprendre cette affirmation pour que je puisse en comprendre la démonstration :

Pour toute partie non vide A de G, est l'ensemble des composés multiples d'éléments de A et de symétriques éléments de A.

:livre:

[Skullkid]

Ça veut dire que est l'ensemble des objets qui peuvent s'écrire comme une suite de produits (où "produit" désigne la loi de ton groupe G) d'éléments de A et d'inverses d'éléments de A.

Si A = {a,b} alors est un élément de , par exemple.

[Judoboy]

C'est tous les éléments que tu peux construire à partir des éléments de A, de leurs inverses et de ta loi interne.

[sabrinah 911]

Bonsoir,

J'aimerais comprendre cette affirmation pour que je puisse en comprendre la démonstration :

Pour toute partie non vide A de G, est l'ensemble des composés multiples d'éléments de A et de symétriques éléments de A.

:livre:

EXCUSER MOI DE VOUS DÉRANGER POUR UN COURT INSTANT MAIS COMMENT FAIT ON POUR POSTER UN MESSAGE POUR QUE LES GENS NOUS AIDE SUR EL SITE ?????

[Euler07]

sabrinah 911 : Tu viens de le faire

Skullkid : Tu peux me donner un autre exemple, je pense avoir du mal à comprendre ta définition.

Judoboy : Ok

Voilà ce que j'ai compris au premier abord : Avec l'exemple de Skullkid j'ai essayé de simplifier pour qu'on ait un seul a et un seul b, mais le groupe n'est pas forcément abélien

:livre:

[Skullkid]

C'est ce que Judoboy a dit plus clairement que moi : c'est l'ensemble de tous les éléments que tu peux former en faisant des produits d'éléments de A et d'inverses de ces éléments. Il n'y a pas à chercher à simplifier ce que j'ai écrit puisque je n'ai fait aucune hypothèse sur mon groupe, ni sur a, ni sur b. Si tu as compris ce que Judoboy a écrit, tu dois pouvoir comprendre mon exemple, prends ton temps pour réfléchir.

[Judoboy]

Oui, attention à ça, l'exemple de skullkid ne peut pas être simplifié dans le cas général.

Le problème c'est qu'il utilise la notation multiplicative alors que "les multiples d'élément de A" sous-entend qu'on utilise une notation additive (donc un groupe abélien, l'usage veut qu'on utilise la notation additive pour les lois commutatives).

Quand on écrit n*x, pour x appartenant à A, ça ne veut pas dire qu'on a une multiplication externe, c'est une notation abrégée de x+x+x+x+....x (n fois). En notation multiplicative on note x^n. Bref ça peut engendrer un peu de confusion.



Le sous-groupe engendré par A c'est le plus petit sous-groupe qui contient A.

Il est évident que tout sous-groupe contenant A doit contenir tous les éléments de la forme [somme (Ni*Xi)] (sinon la loi ne serait pas une loi interne), pour Xi appartenant à A et Ni appartenant à Z ; c'est ces éléments qu'on appelle les composés des multiples d'éléments de A.


Edit : à moitié grillé par skullkid :)

[Skullkid]

Je crois pas que son énoncé suppose une loi notée additivement. Il parle de "composés multiples", pas juste de "multiples". Autrement dit, il appelle la loi "composition" (ce qui est assez heureux puisque c'est une loi de composition interne...).

Sinon je suis naturellement d'accord avec ce qui vient d'être dit.

[Euler07]

Ok !

Avec (Z,+) on a < 2 > = 2Z, les éléments de 2Z sont ...., -4 , -2 , ......., 2 , 4 et par exemple 2 + 4 -2 +8 + 20 -40 est donc un élément de < 2 > ??
J'ai pris un exemple concret :we:

:livre:

[Judoboy]

Je crois pas que son énoncé suppose une loi notée additivement. Il parle de "composés multiples", pas juste de "multiples". Autrement dit, il appelle la loi "composition" (ce qui est assez heureux puisque c'est une loi de composition interne...).

Sinon je suis naturellement d'accord avec ce qui vient d'être dit.

Exact, je me suis un peu enflammé, j'ai lu "composés de multiples", enfin ça change pas grand-chose fondamentalement. Je pensais qu'ils faisaient une distinction "multiples d'éléments de A" (notation additive) et "puissances d'éléments de A" (notation multiplicative).

Je crois que c'est moi qui ai inventé cette distinction en fait

[Judoboy]

Ok !

Avec (Z,+) on a = 2Z, les éléments de 2Z sont ...., -4 , -2 , ......., 2 , 4 et par exemple 2 + 4 -2 +8 + 20 -40 est donc un élément de ??
J'ai pris un exemple concret :we:

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C'est exactement ça, même si l'exemple est peut-être un poil trop simple pour bien illustrer le théorème.

[Euler07]

C'est exactement ça, même si l'exemple est peut-être un poil trop simple pour bien illustrer le théorème.

Merci ! J'ai compris alors. Une dernière chose Skullkid prend A = {a,b} et il donne son exemple, mais il n'a pas donné ce que donne ?

:livre:

[Judoboy]

Merci ! J'ai compris alors. Une dernière chose Skullkid prend A = {a,b} et il donne son exemple, mais il n'a pas donné ce que donne ?

:livre:

On ne peut pas l'écrire ici, il n'y a aucune raison que soit fini. En notation multiplicative ça va être tous les éléments de la forme (a^n1)*(b^n2)*(a^n1)*(b^n2)*.....avec les (nk), k appartient à N, appartenant à Z et presque tous nuls.


Si A est commutatif ça sera tous les éléments de la forme (a^n1)*(b^n2) (qui n'a pas non plus de raison d'être fini).

[Euler07]

Ah ok normal (ça frôle le niveau MP les a^n)

Merci à tous !

:livre: