Sous-espaces vectoriels niveau L1

[JasonG]

Bonjour de nouveau :salut:
On m'a donné l'énoncé suivant:



J'ai répondu à première partie, mais j'ai du mal à répondre à la seconde. Quelqu'un peut-il m'aider?
Merci d'avance

[Wataru]

Salut,

Même si ça se fait pas, tu peux commencer par montrer le côté "direct" de la somme.
Est-ce que tu peux prouver que l'intersection de F et G est vide ?

[Wataru]

Euh... Pas vide, qu'est-ce que je raconte ?
Réduis au singleton nul.

[JasonG]

Je ne sais pas, je réfléchie et je vous reponds :)

[JasonG]

Oui, tu as raison, la seule fonction commune à F et G serait f(x)=0.
Comment exploiter ce résultat?

[Wataru]

Bah ce résultat montre le côté direct de la somme, garde le dans un coin.

Maintenant faut montrer que si h est une fonction de R^R alors tu peux écrire :
h = f + g avec f élément de F et g élément de G.

C'est la partie la plus... difficile, car il faut avoir un peu d'imagination.
Une fois que tu auras prouvé ça tu auras que R^R = F + G et ce que tu as fait avant montrera que c'est plus qu'une somme, c'est une somme directe.

Mais bon... Prends h dans R^R, est-ce que tu peux trouver f et g dans F et G pour que f + g = h ?

[JasonG]

J'ai du mal à voir comment c'est possible.
f(x)=x^3 est une application de R dans R, pourtant je ne peux pas l'exprimer en fonction d'un élément de F et d'un élément de G. Si?

[Monsieur23]

Aloha,

Par exemple, x^3 = (x^3-x) + x.

x^3-x s'annule en 1, et x est bien dans g.

[JasonG]

ah oui :)
Très bien, je suis convaincu. Par contre, pour le démontrer pour tout h, c'est un peu fou, non?

[Monsieur23]

Ben non, il suffit d'utiliser la même méthode que ce que je viens de faire :

tu prends un h : R -> R. Tu veux écrire h = f+g, avec f(1) = 0 et g(x) = ax.

L'idée, c'est de trouver juste le f qui s'annule en 0. Ensuite, tu auras g = h - f.
Essaye de t'inspirer de la méthode que j'ai utilisée pour x^3 :)

[JasonG]

Ok, je m'y penche :)

[hari05]

Cherche pas à comprendre, je pense qu'il a pas compris comment poster un exercice c'est tout.
Et avec l'intersection, tu t'en sors ?

non, il faut aller ou pour postuler

[JasonG]

ahhhh! Purée, pourquoi je suis aussi empoté!!! Je n'arrive pas à trouver :cry:

[Wataru]

Indice :

Tu peux essayer d'écrire h(x) = (h(x) - m(x)) + m(x) avec m une fonction de R^R
Il faut que h(x) - m(x) soit dans F et m(x) dans G.

[paquito]

Qu'est ce tu pense de f(x)=f(x)-f(1)x +f(1)x ? tu as as bien h(x)=f(x)-f(1)x qui vérifie h(1)=0 et f(1)x de la forme g(x)=ax.

[JasonG]

Merci beaucoup, c'est très gentil. Je vais essayer de bien assimiler tout ça :)
Encore merci tout le monde !!!