Sous-espaces vectoriels engendrés

[blackbird]

Bonjour à tous

Voilà, je révisais pour mon exam d'algèbre linéaire L1 et je me suis aperçu que j'avais des difficultés sur cet exercice :

Dans R^4 on considère les vecteurs u1, u2, u3, u4, u5 données par :
u1=(0,-1,1,1), u2=(1,0,2,1), u3=(1,2,1,0), u4=(2,-1,3,2) et u5=(6,2,8,2)

Soit E le sous-espace vectoriel de R^4 engendré par les vecteurs u1, u2 et u4 et F le sous-espace vectoriel de R^4 engendré par les vecteurs u1, u3 et u5 :
a) Pour chacun des sous-espaces vectoriels E,F,E+F et E intersection F, donner une base.
b) Déterminer un supplémentaire de E dans R^4

Je n'arrive absolument pas à démarrer, merci d'avance ;)

[Jean_Luc]

Salut,

Au moins pour E et F la réponse est pratiquement dans l'énoncé, reste juste à verifier que les vecteurs sont linéairement indépendants...

[blackbird]

Ah oui, en effet, vu comme ça, ça se clarifie d'un coup. :euh:

En fait il suffit de calculer le rang de la matrice engendrée par les différents vecteurs et on aura la dimension des ss-ev et donc le nombre de vecteurs qui forment la base de E et de F.

Par contre en ce qui concerne E+F et surtout E intersection F, je ne vois toujours pas.

[Jean_Luc]

Je dirais plutôt rang d'une famille de vecteurs :lol3:

Une fois que tu auras les bases de E et F, E+F ne devrait pas poser problème
et pour E inter F , j'imagine qu'il faut calculer l'intersection (système à résoudre ???)....

[blackbird]

Je dirais plutôt rang d'une famille de vecteurs :lol3:

Merci, oui, c'est mieux ^^

Une fois que tu auras les bases de E et F, E+F ne devrait pas poser problème
et pour E inter F , j'imagine qu'il faut calculer l'intersection (système à résoudre ???)....

Je suis en ce moment même en train de rechercher dans mes notes des exos où on traitait des intersections de sous-espaces vectoriels, mais bon, je dois avouer que c'est un petit peu le bordel (étudiant bordélique + prof bordélique, il faut croire que ça ne fait pas très bon ménage :we: ).

Mais en effet, il doit y avoir des égalités à établir là-dessous, le problème c'est que j'ai toujours du mal à visualiser ce qu'il faut que je fasse dans ce chapitre et du coup je bloque, parfois sur des choses simples.
Donc ça m'arrangerait si je pouvais avoir une idée plus précise de ce qu'il faut faire.

EDIT : ah ça y est je viens de trouver dans les exos.

En fait, on a l'intersection entre les deux espaces quand les bases du premier espace et un vecteur du deuxième espace sont liés.
En gros faut construire une matrice à l'aide de ces vecteurs et on regarde quand est-ce que son déterminant prend une valeur nulle (on va donc obtenir une expression liant les inconnues que l'on a du introduire pour donner l'expression du vecteur du deuxième espace), il suffit alors d'utiliser la relation obtenue dans l'expression du vecteur du deuxième espace, et on obtiendra ainsi la base de E inter F.