Sous espaces stables et dualité

[ludo56]

Bonjour,

Je viens de démontrer (ou du moins de comprendre la démonstration) de la proposition suivante:

Soit E espace vectoriel de dimension finie, f un endomorphisme de E et F un sous espace vectoriel de E. Alors on a :
"F stable par f" ssi "F orthogonal stable par la transposée de f"
(L'orthogonal de f est ici l'ensemble des formes linéaires de E qui s'annulent sur F)

Je trouve alors une application que je ne comprend pas: Si H est un hyperplan de E alors H est stable ssi H orthogonal est une droite propre de transposé de f.
Si quelqu'un pouvait m'expliquer ça!
Merci!

[yos]

Bonjour.
Déjà H° est une droite (regarde les dimensions).
Dire que cette droite est stable par , c'est bien la même chose que dire qu'elle est une droite propre de .
En effet, pour une droite D et un endomorphisme u, entraîne pour x dans D l'existence d'un scalaire tel que .

[ludo56]

Merci! Je pense avoir compris mais je ne suis pas à l'aise avec la notion de droite propre (c'est la première fois que je rencontre ce terme) C'est la même définition que vecteur propre ?
Ce que tu appelle H° c'est bien H orthogonal?

[yos]

Droite propre signifie sous-espace propre de dimension 1.
H° est bien l'orthogonal de H (sev de ).
est plutôt pour l'orthogonal "géométrique" (sev de E) .

[ludo56]

D'accord tout est clair merci encore!