Sous Espace Vectoriel

[MaitreMoulax]

Salut les copains!

Voici la question;
- Soit V un espace vectoriel
- Soit f un endomorphisme de V
- Soit k une valeur propre de f
- Soit E = l'ensemble des v appartenant à V tels que f(v) = kv

Montrer que E est un sous espace vectoriel de V.

On doit donc montrer que E est stable par l'addition, par la multiplication par un scalaire et que Oe=Ov

Stable par l'addition
Un élément de E s'écrit comme étant f(v) = kv
Donc f(v) + f(w) = kv + kw = k(v+w), avec v+w élément de E.
Donc E est stable par l'addition

Stable par la multiplication
On a : a(fv)= akv = (ak)v, avec (ak) élément de E.
Donc E est stable par la multiplication.

Puis, on a k une valeur stable de f, ce qui implique que f n'est pas le vecteur nul. Donc E n'est pas vide. Maintenant, comment montrer que E et V ont le même vecteur nul?

Je comprend que cette question puisse paraître triviale, mais j'ai du mal à comprendre l'idée derrière cette application.

Merci pour votre temps et à la prochaine!

[aviateur]

Bjr
Tu dis que
"Puis, on a k une valeur stable de f, ce qui implique que f n'est pas le vecteur nul."
Mais cela ne veut rien dire!!!

[MaîtreMoulaxx]

Je pense qu'il veut dire que k est une valeur propre et donc v ne peut être nulle car un vecteur propre est non nulle par définition. Cependant, nulle part il n'est marqué que les éléments de E sont des vecteurs propres ...

[MaitreMoulax]

Effectivement, j'ai confondu stable et propre. Moi qui pensait que mon appartement était stable et que ma situation financière était propre...

[pascal16]

je cherche bcp plus simple, Ben corrigera s'il voit une erreur :

- Soit k une valeur propre de f
-> si k=0, on a bien que :
E = l'ensemble des v appartenant à V tels que f(v) = kv = {le vecteur nul}

et on a toujours :
f(vecteur nul de V) = vecteur nul de V car f est une app linéaire= k* vecteur nul de de V.
donc vecteur nul de V est dans E et joue le rôle du vecteur nul de E

[Ben314]

Salut,*
Le problème, c'est que la prose de MaitreMoulax, elle est quand même sacrément décousue.
En acceptant de lire entre les lignes, on a l'impression qu'il a "un peu" compris de quoi il retourne, mais pas trop quand même . . .

Par exemple là :

Puis, on a k une valeur stable de f, ce qui implique que f n'est pas le vecteur nul. Donc E n'est pas vide. Maintenant, comment montrer que E et V ont le même vecteur nul ?

La partie rouge, même en acceptant de lire entre les lignes, ben je vois vraiment pas ce que c'est sensé vouloir dire (Et le truc en bleu, je vois pas franchement d'où il sort non plus).
Quand à la question en vert, ça donne plus que l'impression que du coté de la notion de "vecteur nul" (ou de sous espace vectoriel), y'a un truc qui a franchement pas été compris : lorsqu'on doit montrer qu'une partie E de V est un s.e.v. de V, ben quasi systématiquement, le premier truc qu'on fait, c'est de montrer que le vecteur nul de V est bien un élément de E (*) et il n'y a pas plus de "vecteur nul de V" que de beurre en branche dans l'histoire (en tout cas pas dans ce type de problématique concernant les e.v.).
En plus, l'exo est on ne peut plus bizarrement posé vu que, que k soit une valeur propre de f ou pas, ben de toute façon l'ensemble E des v de V tels que f(v)=k.v, ça sera systématiquement un s.e.v. de V. Là où il va y avoir une différence, c'est que, par définition de ce qu'est une valeur propre, le s.e.v. E sera réduit à {0_V} si k n'est pas valeur propre.

(*) Ce qui ici, comme quasi systématiquement, est évident : f(0_V)=0_V car f est linéaire et k.0_V=0_V (c'est dans les axiomes d'e.v.).

[Brady27]

Hello tout le monde ,

MaitreMoulax comment tu vas , pour ce qui concerne le 3me point voila ce que j'ai fais moi dans le devoir dis moi ce que tu en penses , tiens :
J'ai dis que tt simplement le vecteur Lambda * v1 est dans E , puisque Lambda peut être n importe quel réel , il peut donc être nul ce qui implique bien que 0 appartient a E