Sous-algèbre de L(E)

par **ghis2007** » 16 Mai 2007, 16:59

Bonjour,

Je cherche à trouver toutes les seules sous-algèbres A de L(E) vérifiant la propriété :
"pour tout f de L(E), f appartient à A si f^2 appartient à A".

Voici mon raisonnement :

On suppose l'existence de f endomorphisme de E\A tq f^2 est dans A.
Alors comme A est une algèbre, (f+id)^2 est dans A, mais (f+id)^2=f^2+2f+id donc 2f est dans A ce qui est exclu par hypothèse.
Donc nécessairement A=L(E).

Je pense avoir une autre méthode dont je suis plus confiant (on montre que toutes les matrices élémentaires appartiennent à A), mais ça marche seulement en dimension finie...

Merci de me confirmer la validité de la 1è méthode !

par **yos** » 16 Mai 2007, 17:24

ghis2007 a écrit:On suppose l'existence de f endomorphisme de E\A tq f^2 est dans A.

Bonjour.
Bizarre ton hypothèse non? Selon la définition de A, cela ne se peut pas.

par **ghis2007** » 16 Mai 2007, 17:35

Ah oui, c'est absurde ....... du coup ça ne marche plus.

Y a-t-il une autre méthode en dimension quelconque ?

par **yos** » 16 Mai 2007, 17:36

Tu veux prouver que A=L(E)?

par **fahr451** » 16 Mai 2007, 17:39

bonsoir en dimension finie oui ce que tu dis est correct
n la dimension n>=2
Eij Eij = 0 est dans A (i différent de j) donc Eij dans A par hypothèse sur A puis

Eii = EijEji (j différent de i) est dans A par stabilité par produit

par **ghis2007** » 16 Mai 2007, 18:30

yos a écrit:Tu veux prouver que A=L(E)?

Je ne sais pas, pas forcément.

par **yos** » 16 Mai 2007, 18:34

Fahr t'a confirmé la réponse.

par **ghis2007** » 16 Mai 2007, 21:32

yos a écrit:Fahr t'a confirmé la réponse.

Seulement en dimension finie.

Sous-algèbre de L(E)

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