Sophie Germain

[tize]

Bonjour a tous,

voilà, j'ai un petit probleme, je suis en train de démontrer le théorème de Sophie Germain : si est un nombre premier impair tel que est aussi premier alors il n'existe pas de triplet avec et .
On me dit que l'on peut supposer que , et sont deux à deux premiers entre eux (c'est evident) ensuite on me demande de montrer que et sont premiers entre eux. C'est là que je bloque, c'est peut être (et même sans doute) très simple mais je n'arrive pas à avoir les idées clairs en ce moment. Pourriez vous m'aider
Juste une idée, je ne sais pas si elle sert, on peut remarquer que :
(toujours vrai dès que est impair ce qui est le cas ici)

[Mikou]

salut tize,

tu peux surement utiliser cela,



et

c'est une intuition ...

[tize]

Bon ... ba soit c'est plus difficile que ce que je croyais... soit j'ai fait un bide :karate:

[ramanujo]

Tu peux demontrer ce resultat par l'absurde.
En effet ta remaque est judicieuse...
Supposons que et ne soient pas preiers entre eux alors ils ont un diviseur premier que l'on va appeler D.
Avec ta remarque on a on en deduit que D divise et comme D divise .Alors on obtient:(modulo D)
est congru à qui est congru à qui est divisible par D .
On a donc soit:
1-D divise .D'apres gauss on a soit D divise d'ou (deux nombres premiers ...) mais alors divise absurde....
2-D divise mais alors D divise et qui sont premiers entre eux...
Dans tous les cas D=1

[tize]

Merci !
J'ai tout compris merci beaucoup !

[mathinfo]

Bonjour,
Je suis entrain d'essayer de comprendre la démonstration du théorème de Sophie Germain, mais j'ai trouvé des difficultés à le comprendre.
Pourriez-vous me l'expliquer s'il vous plait?

Merci