Sommes de variables aléatoires

[gbsatti]

Bonsoir !

J'ai une question à propos des méthodes utilisées pour calculer la somme de variables aléatoires.

Dans mon cours il y a trois méthodes :

- la méthode géométrique
- la méthode du jacobien
- la méthode des fonctions caractéristiques.

Ce qui m'intéresse c'est la méthode du jacobien. Elle consiste à poser (Z,U)=(X+Y,X), ce changement de variable est bijectif et donc on peut calculer la densité en fonction de Z et U. Et donc il suffit de calculer la loi marginale de Z pour avoir la loi de Z=X+Y.

Mais hier en faisant des exercices dans un livre, j'ai trouvé une autre méthode que je n'ai pas dans mon cours. Dans le corrigé il est écrit :

Pour toute fonction h positive continue à support compact on calcul :

E(h(X+Y)) après il bidouille un peu et il trouve directement la loi de X+Y sans passer par un couple comme la méthode du jacobien.
Et j'ai vu un autre exercice il peut aussi calculer la loi d'un couple, par exemple (X+Y,X-Y) pour cela il calcul E(h(X+Y,X-Y)) et il obtient la loi du couple.

Cette méthode me semble intéressante mais malheureusement mon cours n'y fait aucune fois allusion. Est-ce que quelqu'un peut m'expliquer cette méthode ou me rediriger vers un cours explicite ?

Merci !

[Nightmare]

Salut,

cette méthode porte parfois le nom de méthode de la fonction muette, je te laisse effectuer une recherche google.

[gbsatti]

Merci, effectivement c'était ce que je cherchais et j'ai enfin compris la méthode :).

Au passage j'ai une autre question. Je suis en train de faire un exercice où il faut justement utiliser cette méthode pour calculer la loi du couple (S,U) où S=X+Y et U=X-Y. J'ai donc utilisé la méthode de la fonction muette, et je suis donc amené à faire le changement de variable :

s=x+y
u=x-y
où |x|0
donc x=(s-u)/2 et y=(s+u)/2.

Mais le problème c'est que je n'arrive pas du tout à déterminer le domaine pour s et u. Ça m'embrouille parce que s et u dépendent de x et y donc je ne vois pas du tout comment faire !

J'ai essayé en partant de -y
Est-ce que tu aurais une idée ?

[miss mathe]

bon soir
est-ce-que les domaines de définitions de x et y sont mentionner dans votre exercice ?

ps: je pense que tu vas calculer les loi marginales alors tu n'as pas besoins de domaine de définition donner explicitement

[gbsatti]

bonsoir, j'ai fait une erreur, c'est S=X+Y et U=Y-X ( et non U=X-Y)

oui les domaines de x et y sont donnés par -y0

[miss mathe]

qu'est-ce que tu pense sur : S>0 et |U|

[gbsatti]

je comprend pas ... moi j'ai trouvé

00

[miss mathe]

on est dacord pour S>0

rest la 2eme :-y -y-x<0 -(y+x) -S
pardons je trompe pour la valeur absolu

alor !!! je pense que tu es besoin de borner s par u et l’inverse c'est pas s ou U par y !!!

[gbsatti]

très bonne idée miss mathe mais je trouve ça un peu compliqué car si s dépend de u ça va être beaucoup plus dur ...

[miss mathe]

pourquoi ? c'est pour l’intégration dans les lois marginal non !!

[miss mathe]

je laisse une personne plus haut niveau que moi pour t'aider "Nightmare" par exemple

aller bonne nuit