Sommes doubles et identité inexpliquée.

[Wykiwyc]

Bonjour, dans le cadre d'un DM ayant pour sujet «Probabilité que deux entiers soient premiers entre eux » j'ai montré :

On choisis aléatoirement n et m dans
Soit l'épreuve : n et m sont premiers entre eux ;

alors :


Où désigne la [url="http://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_de_Mobius"]fonction de Möbius[/url]. (pour le retrouver utiliser )

Et je dois montrer que ceci est encore égal à :


Apparemment ce résultat peut s'obtenir aisément en posant n=kd et m=k'd puis en développant mais j'ai beau tourner et retourner les formules, je n'y parviens pas !
Je n'ai trouvé aucune formule sur les sommes susceptible de m'aider.

Dans d'autres démonstrations on peut trouver d'autres moyens pour montrer que le membre de droite vaux mais ce n'est pas ce que je veux. J'ai le sentiment qu'il manque peu d'étapes mais je n'arrive absolument pas à voir lesquelles.

Merci d'avance à tous ceux qui pourront m'apporter un peu d'aide,
même s'il ne s'agit que de références à des ouvrages ou à des pdf je suis preneur !

[LeJeu]

Bonjour, dans le cadre d'un DM ayant pour sujet «Probabilité que deux entiers soient premiers entre eux » j'ai montré :

On choisis aléatoirement n et m dans
Soit l'épreuve : n et m sont premiers entre eux ;

alors :


Où désigne la [url="http://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_de_Mobius"]fonction de Möbius[/url]. (pour le retrouver utiliser )

Et je dois montrer que ceci est encore égal à :


Apparemment ce résultat peut s'obtenir aisément en posant n=kd et m=k'd puis en développant mais j'ai beau tourner et retourner les formules, je n'y parviens pas !
Je n'ai trouvé aucune formule sur les sommes susceptible de m'aider.

Dans d'autres démonstrations on peut trouver d'autres moyens pour montrer que le membre de droite vaux mais ce n'est pas ce que je veux. J'ai le sentiment qu'il manque peu d'étapes mais je n'arrive absolument pas à voir lesquelles.

Merci d'avance à tous ceux qui pourront m'apporter un peu d'aide,
même s'il ne s'agit que de références à des ouvrages ou à des pdf je suis preneur !

Je parcours le net et je lis ( Wiki est mon ami ) :

En théorie des nombres, le théorème de Cesàro, démontré en 1881 par le mathématicien italien Ernesto Cesàro, établit que la probabilité pour que deux nombres entiers choisis au hasard soient premiers entre eux est égale à

Vous deviez connaitre , moi non , et je trouve ça joli comme résultat !!!

[Wykiwyc]

Je ne sais pas si votre message sous entendait que je suis analphabête mais en tous cas je peux vous assurer que des recherches et des lectures j'en ai faite, sur wikipédia et en bibliothèque.

Par ailleurs dans l'identité qui me pose problème, je suis déjà parvenu a faire tendre le membre de droite vers l'infini et a obtenir la valeur que vous donnez, ce n'est donc pas la résolution du dm que je demande mais ce simple point.

Merci a tous pour l'aide que vous pourrez m'apporter.

[Doraki]

Il faut juste compter, pour chaque d, le nombre de fois où µ(d) apparaît dans la somme double, c'est à dire le nombre de paires n,m telles que d divise n et m.

[LeJeu]

Je ne sais pas si votre message sous entendait que je suis analphabête mais en tous cas je peux vous assurer que des recherches et des lectures j'en ai faite, sur wikipédia et en bibliothèque.

Aucune ironie, aucun sous entendu dans mon message, je disais que je ne connaissais pas ce résultat avant que je ne te lise . c'est tout !

[Wykiwyc]

Doraki : est ce que tu veux dire par la qu'il faut que je dise "au lieu.de compter couple par couple, comptons diviseurs par diviseurs or pour d donné il y a couples {n,m} dans tel que d|n et d|m d'où l'identité ?"

Lejeu : Excuse moi, je suis juste un peu a cran a cause de l'échéance qui approche, je n'aurais pas du te répondre de façon aussi agressive.

[Doraki]

"au lieu.de compter couple par couple, comptons diviseurs par diviseurs "

Exactement.
Changer l'ordre dans lequel tu comptes les trucs c'est un truc auquel il faut savoir penser.

[Wykiwyc]

Merci ! Effectivement, ce n'était pas si compliqué que ça !

Reste juste à montrer qu'il y a couples de multiples de d dans , mais ça devrait aller.

Déjà c'est assez évident qu'il y a multiples de d dans [1;x], donc est ce que j'ai le droit de passer au carré directement ou ce n'est pas immédiat ?

Merci beaucoup !