[probabilité] somme variables aléatoires à priori i.i.d

[marion1560]

Bonjour,
on a eu une petite interrogation de probabilité et j'ai bloqué sur une petite question. j'ai essayé de la reprendre mais elle me pose toujours problème et étant donnée que je vois mon prof que la semaine prochaine je me tourne vers vous.
le problème était en gros:

"on possède N ampoules dont la durée de vie est exprimée par des variables aléatoires qui suivent une loi exponentielle.
on allume la première ampoule jusqu’à ce qu'elle grille, puis la deuxième,etc...
on note la durée de lumière totale qu'on obtient avec ces n ampoules.
Quelle est la loi de ?"

pour moi est la somme des Xi.
je cherche donc mais je vois pas trop comment faire.
Certain de mes camarades m'ont dit d'essayer ça : si je me réduis à deux variables, peut arriver quand
mais je trouve le raisonnement faux : si on prend t=1 par exemple et si on suppose que le raisonnement est bon alorsdoit amener à ce qui est faux car on peut très bien avoir et
je n'ai pas trop d'idées.

qu'en pensez vous?

[Sylviel]

leur argumentation est effectivement fausse. Si je ne m'abuse il s'agit d'une loi gamma, preuve par fonctions caractéristiques.

[MathematicienPoche]

La somme d'exponentielle est une distribution gamma avec paramètres 2n et n/lamda.

Pour faire la démonstration tu peux passer par la fonction génératrice des moments. Tu sais que la FGM d'une exponentielle est (lamda = k) k/(k-t). Donc,

Multiplication de i=1 à n de k/(k-t) et tu développe.. et tu va trouver la FGM d'une Gamma avec les paramètres mentionnés ci-haut.

[marion1560]

ok je vais essayer.
merci beaucoup :lol3: