Somme d'une série non telescopique

par **Elri** » 05 Déc 2009, 16:17

Bonjour,

Je dois calculer la somme de 1 à l'infini des 1/(1+2²+3²+4²+...+n²).
J'ai montré qu'il fallait enfait calculer la somme des 6/(n(n+1)(2n+1)), qui décomposé donne 6*(1/n+1/(n+1)-4/(2n+1)).
Mais ça n'est pas téléscopique :'(... Une idée? Mon sujet donne en aide que la série des [(-1)^(k+1)]/k converge vers ln(2), mais qu'en faire?

Merci de votre aide :-).

par **Ben314** » 05 Déc 2009, 16:25

Bonjour,
Il me semble que c'est quand même "assez téléscopique" :
Pose toi par exemple la question de combien de termes de la forme ?/51 (par exemple) est ce que tu as ?
et des termes du type ?/50 ?
Attention par contre à ne raisonner que sur les sommes partielles car la série de dépar est C.V. (pourquoi ?) mais que par exemple la série des 4/(2n+1) ne l'est pas (pourquoi ?)

par **Doraki** » 05 Déc 2009, 16:35

Oui c'est assez téléscospique vu que 1 + 1 -4/2 = 0.
Ca devrait t'amener à réécrire le terme de manière à faire mieux voir que la série est convergente en regroupant les +1 = 2/2 avec un -2/2 :

1/n + 1/(n+1) -4/(2n+1) = [2/2n -2/(2n+1)] + [2/(2n+2) - 2/(2n+1)].

Comme on peut s'y s'attendre, ces deux séries sont plus faciles à étudier que la première.

par **Elri** » 05 Déc 2009, 16:37

J'ai montré que la série était convergente, pas de pb de ce coté là.Je n'ai qu'un terme a chaque fois / 50 ou / 51 puisque 1/n , 1/n+1 , et -4/2n+1 ne se compense jamais...
Ou du moins ça parais difficile a voir et je ne vois pas grand chose . Comment "formaliser" çe télescopage? Et l'indication de l'énoncé je la case où?

par **Elri** » 05 Déc 2009, 16:40

Doraki, j'avais trouvé cet agencement judicieux, mais ça ne se télescope pas, mais je viens de voir un lien fragrant avec l'indication de l'énoncé!

Merci :-)

par **Elri** » 05 Déc 2009, 16:50

ça converge vers -ln (2)+ 3/2 , qqn confirme?

par **Doraki** » 05 Déc 2009, 16:55

moi j'dirais que ça devrait converger vers un truc qu'est plus grand que 1, quand même.

par **Elri** » 05 Déc 2009, 16:59

ben x6 si on reprend le sujet de départ donc sa donne environ 4,84 non?

par **Ben314** » 05 Déc 2009, 17:03

Elri a écrit:Je n'ai qu'un terme a chaque fois / 50 ou / 51 puisque 1/n , 1/n+1 , et -4/2n+1 ne se compense jamais...

personellement, il me semble bien que des termes de la forme ?/51, j'en ait un pour n=25, un pour n=49 et un autre pour n=50....

P.S. mais ce n'est pas une méthode maline.....

par **Doraki** » 05 Déc 2009, 17:05

Nan 4.84 c'est beaucoup trop grand.
Ca devrait être un truc du genre 6*(-4*ln 2 + truc)

par **Elri** » 05 Déc 2009, 17:36

autant pour moi, je divisais par 2 au lieu de multiplier. J'arrive donc à 6*(-4ln2 +3), ça fait a peu pres 1,36, mieu nan?

par **Elri** » 05 Déc 2009, 22:00

résultat confirmé par logiciel :-)

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